Условие
На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки M, N и P так, что DM : MA = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см² и DM : MA = 2 : 1.
Разбор задания
Номер 103 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 24
Решение
- Из DM/MA = DN/NB следует DM/DA = DN/DB, поэтому MN ∥ AB (обратная теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике DAB). Аналогично NP ∥ BC. Две пересекающиеся прямые плоскости MNP параллельны плоскости ABC, значит (MNP) ∥ (ABC).
- Треугольник MNP подобен треугольнику ABC с коэффициентом k = DM/DA = 2/3. S(MNP) = 10·(2/3)² = 40/9 см² ≈ 4,4 см².
Ответ
40/9 см².
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →