Номер 99 — Геометрия 10 класс

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

1. Пусть плоскости α ∥ β ∥ γ пересекают прямую a в точках A₁, A₂, A₃, а прямую b — в точках B₁, B₂, B₃. Докажем, что A₁A₂ : A₂A₃ = B₁B₂ : B₂B₃.
2. Через точку A₁ проведём прямую b′ ∥ b; она пересекает β и γ в точках C₂ и C₃. Прямые a и b′ пересекаются, значит лежат в одной плоскости, которая пересекает β и γ по параллельным прямым A₂C₂ ∥ A₃C₃. По теореме о пропорциональных отрезках в этой плоскости A₁A₂ : A₂A₃ = A₁C₂ : C₂C₃.
3. Параллельные прямые b и b′ лежат в одной плоскости, пересекающей α, β, γ по параллельным прямым A₁B₁, C₂B₂, C₃B₃, поэтому A₁C₂B₂B₁ и C₂C₃B₃B₂ — параллелограммы и A₁C₂ = B₁B₂, C₂C₃ = B₂B₃. Итак, A₁A₂ : A₂A₃ = B₁B₂ : B₂B₃.