Условие
В тетраэдре DABC биссектрисы трёх углов при вершине D пересекают отрезки BC, CA и AB соответственно в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
Разбор задания
Номер 108 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 25
Решение
- По свойству биссектрисы треугольника: в грани DBC BA₁/A₁C = DB/DC; в грани DCA CB₁/B₁A = DC/DA; в грани DAB AC₁/C₁B = DA/DB.
- Перемножим: (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = (DB/DC)·(DC/DA)·(DA/DB) = 1.
- По теореме Чевы (обратной) отрезки AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в одной точке.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →