Условие
Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой a. Докажите, что прямая a параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.
Разбор задания
Номер 109 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 25
Решение
- Это плоскости AA₁C₁C и BB₁D₁D. Они содержат параллельные прямые AA₁ и BB₁; AA₁ ∥ (BB₁D₁D), значит линия пересечения a параллельна AA₁, а с ней и всем боковым рёбрам.
- Обе плоскости содержат точку O = AC ∩ BD (центр нижнего основания) и O₁ = A₁C₁ ∩ B₁D₁, поэтому a = OO₁.
- Диагонали AC₁ и A₁C лежат в плоскости AA₁C₁C и пересекаются в центре параллелограмма AA₁C₁C — середине отрезка OO₁ (OO₁ — средняя линия этого параллелограмма). Так же диагонали BD₁ и B₁D пересекаются в середине OO₁. Значит, прямая a проходит через общую точку всех четырёх диагоналей.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →