Условие
Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Разбор задания
Номер 112 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 25
Решение
- Диагонали AC₁ и A₁C — диагонали параллелограмма AA₁C₁C. По свойству параллелограмма AC₁² + A₁C² = 2(AA₁² + AC²). Аналогично BD₁² + B₁D² = 2(BB₁² + BD²).
- Складывая: сумма квадратов четырёх диагоналей = 4AA₁² + 2(AC² + BD²). Для параллелограмма ABCD: AC² + BD² = 2(AB² + AD²).
- Итого 4AA₁² + 4AB² + 4AD² — а это сумма квадратов двенадцати рёбер (по четыре ребра каждой длины).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →