Номер 132 — Геометрия 10 класс

Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

1. Пусть α ∥ β и a ⟂ α. Прямая a пересекает α, значит пересекает и β (задача 55) в некоторой точке B.
2. Возьмём в β две пересекающиеся в B прямые b₁ и b₂ и проведём плоскости через a и каждую из них; они пересекают α по прямым a₁ ∥ b₁ и a₂ ∥ b₂. Так как a ⟂ α, то a ⟂ a₁ и a ⟂ a₂, а значит a ⟂ b₁ и a ⟂ b₂ (перпендикулярность параллельным прямым).
3. Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости β, поэтому a ⟂ β.