Условие
Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.
Разбор задания
Номер 175 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Тела вращения · страница 37
Решение
- Пусть ребро равно a. Для ребра AC возьмём его середину M: BM и DM — высоты равносторонних граней, BM = DM = a√3/2, и ∠BMD — линейный угол (задача 167).
- По теореме косинусов в треугольнике BMD: cos∠BMD = (BM² + DM² − BD²)/(2·BM·DM) = (3a²/4 + 3a²/4 − a²)/(2·3a²/4) = 1/3.
- Для любого ребра получается такой же треугольник, поэтому все двугранные углы равны arccos(1/3) ≈ 70°32'.
Ответ
arccos(1/3) ≈ 70°32'.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →