Номер 210 — Геометрия 10 класс

На рисунке 69 двугранные углы HABP и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости ABP равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.

1. Пусть X — точка плоскости ABP, не лежащая на AB (для точек ребра расстояния равны нулю). Проведём через X плоскость γ ⟂ AB; она пересекает плоскости ABH, ABP, ABQ по лучам OH′, OX, OQ′ (O ∈ AB), и ∠H′OX = ∠XOQ′ как линейные углы равных двугранных углов.
2. Опустим из X перпендикуляры XK и XL на лучи OH′ и OQ′ (в плоскости γ). Прямоугольные треугольники XOK и XOL равны по гипотенузе и острому углу, поэтому XK = XL.
3. XK ⟂ OH′ и XK ⟂ AB (AB ⟂ γ), значит XK ⟂ (ABH); аналогично XL ⟂ (ABQ). Итак, расстояния от X до плоскостей равны.