Условие
На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, на рёбрах которого отмечены точки M, N, M₁ и N₁ так, что AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁ (M ∈ AB, N ∈ CD, M₁ ∈ A₁B₁, N₁ ∈ C₁D₁). Докажите, что MBND M₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.
Разбор задания
Номер 78 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Прямые и плоскости в пространстве · страница 19
Решение
- В параллелограмме ABCD: MB = AB − AM = CD − CN = ND и MB ∥ ND, значит MBND — параллелограмм. Так же M₁B₁N₁D₁ — параллелограмм.
- AM = A₁M₁ и AM ∥ A₁M₁, поэтому AMM₁A₁ — параллелограмм и MM₁ ∥ AA₁, MM₁ = AA₁; аналогично NN₁ ∥ CC₁, NN₁ = CC₁. Значит, MM₁ ∥ BB₁ ∥ NN₁ ∥ DD₁ и все эти отрезки равны.
- Тогда MBB₁M₁, BNN₁B₁, NDD₁N₁, DMM₁D₁ — параллелограммы, а плоскости MBN и M₁B₁N₁ параллельны. Шесть граней — параллелограммы, противоположные грани параллельны: по определению MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →