Номер 299 — Алгебра 9 класс

(Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, которая в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел? 1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение. 2) Решите уравнение, используя введение новой переменной. 3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения. 4) Выясните, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи.

1. 1) Пусть число x > 0: 13(x + 1/x) = x³ + 1/x³.
2. 2) Обозначим u = x + 1/x; тогда x³ + 1/x³ = u³ − 3u. Уравнение: 13u = u³ − 3u, u(u² − 16) = 0, u = 0, u = 4 или u = −4. Для x > 0 верно u = x + 1/x ≥ 2, поэтому подходит только u = 4.
3. 3) x + 1/x = 4, x² − 4x + 1 = 0, x = 2 ± √3.
4. 4) Оба числа положительны и взаимно обратны: (2 + √3)(2 − √3) = 1. Проверка: сумма 4, сумма кубов 4³ − 3 · 4 = 52 = 13 · 4.