Номер 382 — Алгебра 9 класс

(Задача-исследование.) При каких значениях k биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + k = 0: а) имеет четыре корня; б) имеет два корня; в) не имеет корней? 1) Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня, один корень, не имеет корней. 2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют. 3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от k.

1. 1) y² − 13y + k = 0, D = 169 − 4k: два корня при k < 42,25, один при k = 42,25, ни одного при k > 42,25.
2. 2) Сумма корней 13 > 0, произведение k: при k > 0 оба корня положительны, при k < 0 корни разных знаков, при k = 0 корни 0 и 13.
3. 3) Каждому положительному y соответствуют два значения x = ±√y. а) Четыре корня при 0 < k < 42,25. б) Два корня при k < 0 (один положительный y) и при k = 42,25 (y = 6,5). в) Корней нет при k > 42,25. (При k = 0 корней три: 0 и ±√13.)