Условие
Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²/4. Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.
Разбор задания
Номер 662 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Глава IV. Арифметическая и геометрическая прогрессии · страница 132
Решение
- n = 1: 1 = 1 · 4/4 = 1; n = 2: 1 + 8 = 9 = 4 · 9/4; n = 3: 1 + 8 + 27 = 36 = 9 · 16/4 — верно.
- Индукция: пусть формула верна для n. Тогда для n + 1: n²(n + 1)²/4 + (n + 1)³ = (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 = (n + 1)²(n + 2)²/4 — это формула для n + 1. По принципу математической индукции формула верна при всех натуральных n.
Ответ
база проверена для n = 1, 2, 3; шаг индукции: Sₙ + (n + 1)³ = (n + 1)²(n + 2)²/4
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →