Условие
Докажите, что при любом натуральном n сумма 1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + 1/(3 · 4) + … + 1/(n(n + 1)) может быть вычислена по формуле Sₙ = n/(n + 1).
Разбор задания
Номер 664 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Глава IV. Арифметическая и геометрическая прогрессии · страница 132
Решение
- Способ 1: 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1), поэтому сумма «телескопируется»: 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1).
- Способ 2 (индукция): база n = 1: 1/2 = 1/2. Шаг: n/(n + 1) + 1/((n + 1)(n + 2)) = (n(n + 2) + 1)/((n + 1)(n + 2)) = (n + 1)²/((n + 1)(n + 2)) = (n + 1)/(n + 2).
Ответ
Sₙ = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1)
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →