Олимпиада по математике 10 класс — муниципальный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

10 класс Задача 10.1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2𝑛 членов. Известно, что разность суммы последних 𝑛 и суммы первых 𝑛 членов равна 450. Укажите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 > 1.

Ответ: 3, 5, 15. Решение. Обозначим члены прогрессии 𝑎1 , 𝑎2 , ..., 𝑎2𝑛 , и пусть 𝑑 — её разность. Тогда разность суммы последних 𝑛 и первых 𝑛 членов считается по формуле (𝑎𝑛+1 +𝑎𝑛+2 +...+𝑎2𝑛 )− (𝑎1 + 𝑎2 + ... + 𝑎𝑛 ) = (𝑎𝑛+1 − 𝑎1 ) + (𝑎𝑛+2 − 𝑎2 ) + ... + (𝑎2𝑛 − 𝑎𝑛 ) = 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 + ... + 𝑛𝑑 = 𝑛2 𝑑. ⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟ 𝑛

Итак, 𝑛2 𝑑 = 450. Т.к. 450 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 , то возможные значения 𝑛, большие 1 — 3, 5 и 15.

Вариант 10.1.2. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2𝑛 членов. Известно, что разность суммы последних 𝑛 и суммы первых 𝑛 членов равна 882. Укажите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 > 1. Ответ: 3, 7, 21 Вариант 10.1.3. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2𝑛 членов. Известно, что разность суммы последних 𝑛 и суммы первых 𝑛 членов равна 2450. Укажите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 > 1. Ответ: 5, 7, 35 Вариант 10.1.4. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2𝑛 членов. Известно, что разность суммы последних 𝑛 и суммы первых 𝑛 членов равна 2178. Укажите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 > 1. Ответ: 3, 11, 33 Задача 10.2. На множестве целых чисел ввели две операции: 𝑎 ⋆ 𝑏 = 𝑏 2 − 𝑎2 , 𝑎 ⋄ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 3. Найдите значение выражение (… ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …) ⋆ 2024

Ответ: 4047

Решение. Рассмотрим выражение (𝑛 ⋆ (𝑛 + 1)) ⋄ (𝑛 + 2) для произвольного числа 𝑛, оно равно (𝑛 ⋆ (𝑛 + 1)) ⋄ (𝑛 + 2) = ((𝑛 + 1)2 − 𝑛2 ) ⋄ (𝑛 + 2) = (2𝑛 + 1) ⋄ (𝑛 + 2) = (2𝑛 + 1) − (𝑛 + 2) + 3 = 𝑛 + 2. Тогда

(… ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …)⋆2024 = = (… ((3 ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …)⋆2024 = = (5 ⋆ …)⋆2024 = … = 2023⋆2024 = 4047

Вариант 10.2.2. На множестве целых чисел ввели две операции: 𝑎 ⋆ 𝑏 = 𝑏 2 − 𝑎2 , 𝑎 ⋄ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 3. Найдите значение выражение (… ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …) ⋆ 2022

Ответ: 4043 Вариант 10.2.3. На множестве целых чисел ввели две операции: 𝑎 ⋆ 𝑏 = 𝑏 2 − 𝑎2 , 𝑎 ⋄ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 3. Найдите значение выражение (… ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …) ⋆ 2026

Ответ: 4051 Вариант 10.2.4. На множестве целых чисел ввели две операции: 𝑎 ⋆ 𝑏 = 𝑏 2 − 𝑎2 , 𝑎 ⋄ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 3. Найдите значение выражение (… ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ …) ⋆ 2028

Ответ: 4055 Задача 10.3. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐷. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 касаются 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно и касаются 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть прямые 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Найдите площадь треугольника 𝑋𝑌 𝑍, если известно, что 𝐵𝐶 = 22, 𝐴𝐷 = 12 а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 56.

Ответ: 9 Решение. Заметим, что треугольники 𝑋𝑃𝐷 и 𝑌 𝑄𝐷 прямоугольные и равнобедренные. Отсюда следует, что треугольник 𝑋𝑌 𝑍 также прямоугольный и равнобедренный.

𝑃 𝐵

𝑋 𝐷

Рис. 23: К решению задачи 10.3.1 Отрезок 𝐷𝑋 = 𝑋𝑌 =

𝐵𝐷+𝐴𝐷−𝐴𝐵 2

, 𝐷𝑌 =

𝐶𝐷+𝐴𝐷−𝐴𝐶 2

, откуда

𝐵𝐶 − (𝑃𝐴𝐵𝐶 − 𝐵𝐶) 𝐵𝐶 + 2𝐴𝐷 − 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 44 − 56 = + 𝐴𝐷 = + 12 = 6. 2 2 2

Поскольку треугольник 𝑋𝑍𝑌 равнобедренный и прямоугольный с гипотенузой 𝑋𝑌 , то 2

𝑆𝑋𝑌 𝑍 =

1 𝑋𝑌 𝑋𝑌 2 36 = = 9. ( ) = 2 √2 4 4

Вариант 10.3.2. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐷. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 касаются 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно и касаются 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть прямые 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Найдите площадь треугольника 𝑋𝑌 𝑍, если известно, что 𝐵𝐶 = 48, 𝐴𝐷 = 28 а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 124. Ответ: 49 Вариант 10.3.3. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐷. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 касаются 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно и касаются 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть прямые 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Найдите площадь треугольника 𝑋𝑌 𝑍, если известно, что 𝐵𝐶 = 36, 𝐴𝐷 = 28 а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 108. Ответ: 25 Вариант 10.3.4. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐷. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 касаются 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно и касаются 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть прямые 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Найдите площадь треугольника 𝑋𝑌 𝑍, если известно, что 𝐵𝐶 = 20, 𝐴𝐷 = 28 а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 80. Ответ: 16 Задача 10.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть 𝑎 — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение 𝑎? (б) (4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение 𝑎?

Ответ: а) 64, б) 12 Решение. Пусть всего в школе 𝑁 учеников. Для упрощения вычислений будем считать, что 𝑁 = 100 (на самом деле все дальнейшие вычисления производятся в процентах от 𝑁). Посчитаем суммарное количество знаемых языков программирования: 93+81+62 = 236. Получается, что есть хотя бы 36 учеников, которые знают все три языка, т.е. не более 64 учеников знают по два языка. При этом возможен вариант, когда таких учеников ровно 64: пусть есть 36 учеников, которые знают все языки; 38 учеников, которые знают Python и C++; 19 учеников, которые знают Python и Java и 7 учеников, которые знают C++ и Java. Для ответа на второй вопрос поймём, что есть не более 62 учеников, которые знают все три языка (т.к. только 62 ученика знает Java). Далее, обозначим через 𝑎 количество учеников, знающих все 3 языка, через 𝑏 — знающих 2 языка, через 𝑐 — знающих 1 язык и

через 𝑑 — знающих 0 языков. Получаем, что 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 236, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100 и 𝑎 ⩽ 62. Тогда 𝑏 = 236 − 3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 236 + 𝑑 − 2𝑎 − 100 = 136 − 2𝑎 + 𝑑 ⩾ 136 − 62 ⋅ 2 = 12 При этом вариант, когда 𝑏 = 2 возможен: пусть есть 62 ученика, знающих все 3 языка; 12 учеников, знающих Python и C++; 19 учеников, знающих Python; 7 учеников, знающих C++.

Вариант 10.4.2. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть 𝑎 — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение 𝑎? (б) (4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение 𝑎? Ответ: а) 63, б) 13 Вариант 10.4.3. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть 𝑎 — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение 𝑎? (б) (4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение 𝑎? Ответ: а) 67, б) 15 Вариант 10.4.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть 𝑎 — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение 𝑎? (б) (4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение 𝑎? Ответ: а) 66, б) 16 Задача 10.5. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороне 𝐴𝐷 отметили такую точку 𝑋, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Найдите 𝐵𝑋, если известно, что 𝐴𝐵 = 8, 𝐵𝐶 = 10, 𝐶𝐷 = 3.

Ответ: 6.75 Решение. Отметим точку 𝐸 пересечения 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷. Заметим, что треугольники 𝐴𝐵𝑋 и 𝐶𝐸𝐷 равны, поскольку 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐴𝑋𝐵 = ∠𝐶𝐷𝐸 по условию, а также ∠𝐵𝐴𝑋 = ∠𝐸𝐷𝐶, посколькуо четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписанный. Тогда 𝐴𝐵 = 𝐶𝐸. Заметим, что треугольники 𝐶𝐷𝐸 и 𝐴𝐵𝐸 подобны, поэтому 𝐵𝑋 𝐵𝐸 = 𝐴𝑋 𝐴𝐵

Откуда получаем, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝐷 ⋅

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 18 =3⋅ = 6.75 𝐴𝐵 8

𝐵 𝐶

Рис. 24: К решению задачи 10.5.1

Вариант 10.5.2. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороне 𝐴𝐷 отметили такую точку 𝑋, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Найдите 𝐵𝑋, если известно, что 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 6, 𝐶𝐷 = 4. Ответ: 6.4 Вариант 10.5.3. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороне 𝐴𝐷 отметили такую точку 𝑋, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Найдите 𝐵𝑋, если известно, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 9, 𝐶𝐷 = 3. Ответ: 7.5 Вариант 10.5.4. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороне 𝐴𝐷 отметили такую точку 𝑋, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Найдите 𝐵𝑋, если известно, что 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 7, 𝐶𝐷 = 5. Ответ: 8.5 Задача 10.6. При каком наименьшем 𝑛 во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до 𝑛, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?

Ответ: 41. Решение. Поскольку в таблице 4 × 10 всего 40 клеток, то 𝑛 ⩾ 40. Предположим, что 𝑛 = 40. Тогда каждое число используется ровно 1 раз.

Покрасим клетки доски в шахматную раскраску. Заметим, что никакие два из чисел от 21 до 40 не могут стоять рядом. А так как их всего 20, то они должны целиком занимать либо все белые клетки, либо все чёрные. Действительно, всю доску без любого прямоугольника 1×2 можно разбить на прямоугольники 1×2 (см. рисунок), и тогда если в каком-то из них нет чисел от 21 до 40, то в каком-то будет 2 таких числа, противоречие. А если в каждом прямоугольнике 1 × 2 есть ровно одно из этих чисел, то они занимают либо все белые клетки, либо все чёрные.

Тогда числа от 1 до 20 будут занимать все клетки другого цвета. Значит, рядом с числом 20 будут хотя бы 2 числа от 21 до 40, т.е. числа, большие 20. Но оба они не смогут быть хотя бы в 2 раза больше чем число 20. Значит, при 𝑛 = 40 так сделать не получится. На рисунке 25 нарисован пример для 𝑛 = 41.

27

31

12

35

16

39

19

41

20

26

30

11

34

15

38

18

40

23

25

29

10

33

14

37

17

22

24

28

32

13

36

Рис. 25: К решению задачи 10.6.1

Вариант 10.6.2. При каком наименьшем 𝑛 во все клетки таблицы 4 × 11 можно расставить некоторые из чисел от 1 до 𝑛, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?

Ответ: 45. Вариант 10.6.3. При каком наименьшем 𝑛 во все клетки таблицы 4 × 12 можно расставить некоторые из чисел от 1 до 𝑛, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза? Ответ: 49. Вариант 10.6.4. При каком наименьшем 𝑛 во все клетки таблицы 4 × 13 можно расставить некоторые из чисел от 1 до 𝑛, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза? Ответ: 53. Задача 10.7. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером 𝑛 и ставит её непосредственно справа от книги с номером 𝑚, где 𝑚 — наибольший собственный делитель 𝑛. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. (а) (2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? (б) (5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?

Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Ответ: а) 99, б) 1760. Решение. (а) Сначала справа от 33 будут какие-то числа, пока какое-то число не встанет непосредственно справа от 33. Это будет число, у которого наибольший собственный делитель равен 33. Это число имеет вид 33𝑡. Заметим, что 𝑡 ⩽ 3, поскольку иначе у числа будет делитель 11𝑡 > 33. При этом если 𝑡 = 2 или 𝑡 = 3, то наибольший собственный делитель как раз будет равен 33. Значит, сначала справа от 33 Маша поставит 66, а потом справа от 33 Маша поставит 99. Больше справа от 33 Маша ничего не поставит, поэтому в конце справа от 33 будет 99. (б) Когда Маша поставит число 33, она поставит его справа от 11. Значит, в дальнейшем книга слева от 33 будет обновляться, когда справа от левого соседа 33 что-то ставят. Справа от 11 сначала поставится 22, но это будет до того как поставится 33, а после этого момент первая книга, которая поставится, будет 55 (т.к. 44 поставится справа от 22). Далее за 55 первая книга, которая поставится, будет 55 ⋅ 2 = 110. Далее аналогично её номер будет увеличиваться в 2 раза, пока это возможно. Получим последовательность 110, 220, 440, 880, 1760. Значит, в конце слева от 33 будет стоять 1760.

Вариант 10.7.2. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером 𝑛 и ставит её непосредственно справа от книги с номером 𝑚, где 𝑚 — наибольший собственный делитель 𝑛. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. (а) (2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 39? (б) (5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 39?

Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Ответ: а) 117, б) 1040. Вариант 10.7.3. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером 𝑛 и ставит её непосредственно справа от книги с номером 𝑚, где 𝑚 — наибольший собственный делитель 𝑛. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. (а) (2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 51? (б) (5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 51?

Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Ответ: а) 153, б) 1360. Вариант 10.7.4. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером 𝑛 и ставит её непосредственно справа от книги с номером 𝑚, где 𝑚 — наибольший собственный делитель 𝑛. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. (а) (2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 57? (б) (5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 57?

Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Ответ: а) 171, б) 1520. Задача 10.8. Вычислите сумму 3 𝑥101 𝑥23 𝑥13 + +…+ , 2 2 2 1 − 3𝑥1 + 3𝑥1 1 − 3𝑥2 + 3𝑥2 1 − 3𝑥101 + 3𝑥101

если для всех 𝑖 от 1 до 101 выполнено, что 𝑥𝑖 =

𝑖 101

Ответ: 51 Решение. Заметим, что 𝑥3 𝑥𝑖3 𝑥𝑖3 = 3 = 3 𝑖3 2 3 1 − 3𝑥𝑖 + 3𝑥𝑖 𝑥𝑖 + (1 − 𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 + 𝑥101−𝑖 Откуда следует, что 3 3 𝑥101−𝑖 𝑥101−𝑖 𝑥𝑖3 𝑥𝑖3 + = + =1 2 3 3 1 − 3𝑥𝑖 + 3𝑥𝑖2 1 − 3𝑥101−𝑖 + 3𝑥101−𝑖 𝑥𝑖3 + 𝑥101−𝑖 𝑥𝑖3 + 𝑥101−𝑖

Рассмотрев 100 слагаемых кроме последнего, заметим что они разбиваются на 50 пар для 𝑖 и 101−𝑖, и их сумма равна 50. Прибавляя последнее слагаемое, которое равно 1, получаем ответ 51.

Вариант 10.8.2. Вычислите сумму 3 𝑥201 𝑥23 𝑥13 + + … + , 2 1 − 3𝑥1 + 3𝑥12 1 − 3𝑥2 + 3𝑥22 1 − 3𝑥201 + 3𝑥201

если для всех 𝑖 от 1 до 201 выполнено, что 𝑥𝑖 =

𝑖 201

Ответ: 101 Вариант 10.8.3. Вычислите сумму 3 𝑥301 𝑥23 𝑥13 +…+ , + 2 2 2 1 − 3𝑥1 + 3𝑥1 1 − 3𝑥2 + 3𝑥2 1 − 3𝑥301 + 3𝑥301

если для всех 𝑖 от 1 до 301 выполнено, что 𝑥𝑖 =

𝑖 301

Ответ: 151 Вариант 10.8.4. Вычислите сумму 3 𝑥401 𝑥23 𝑥13 + +…+ , 2 2 2 1 − 3𝑥1 + 3𝑥1 1 − 3𝑥2 + 3𝑥2 1 − 3𝑥401 + 3𝑥401

если для всех 𝑖 от 1 до 401 выполнено, что 𝑥𝑖 =

Ответ: 201

𝑖 401