Олимпиада по математике 10 класс — пригласительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г. ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Максимальное количество баллов — 8. Задание № 1 У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты. В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны. Ответ: 4. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. За 3 минуты сгорает не более 6 метров шнура от мест поджога. Поэтому задача переформулируется так: есть отрезок длины 20; каким наименьшим количеством интервалов длины 6 можно его покрыть? Интервалы длины 6 могут налегать друг на друга и могут вылезать за пределы отрезка длины 20. Очевидно, что 3-х интервалов не хватит, так как их суммарная длина будет 18, что меньше 20. А четырьмя интервалами длины 6 отрезок длины 20 покрыть можно, см. рисунок.

Задание № 2 Действительные числа x, y, z таковы, что (x + y)(x + y + z) = 785, (y + z)(y + z + x) = 692, (z + x)(z + x + y) = 973. Найдите все возможные значения x + y + z. Ответ: 35 и −35. Точное совпадение ответа — 1 балл 1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Решение. Сложив все три уравнения и преобразовав, получим 2(x + y + z)2 = 2450, откуда x + y + z = 35 или x + y + z = −35. Осталось проверить, что оба эти случая на самом деле возможны. 1) x + y + z = 35. Поставив это в исходные уравнения, находим

Отсюда

Сумма этих трёх чисел как раз равна 35. 2) x + y + z = −35. Достаточно сменить знак у значений x, y и z, найденных в предыдущем случае. При такой смене знаков все три равенства из условия сохранятся, так как каждая скобка (x + y), (y + z), (z + z) и (x + y + z) сменит знак, поэтому произведения (x + y)(x + y + z) и два аналогичных не изменятся. Задание № 3 У Васи было много прямоугольников размеров 1×14, 1×35, 1×36 и 1×39. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 37 × 37, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких? o 1 × 14; o 1 × 35; o 1 × 36; o 1 × 39. Ответ: 1 × 35 и 1 × 36. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Прямоугольники размера 1×39 использоваться не могли, так как они не умещаются на доску 37 × 37. Осталось три случая. 1) Использовались прямоугольники 1 × 14 и 1 × 35. Этот случай невозможен, так как площадь каждого прямоугольника делится на 7, тогда и площадь квадрата 37×37 должна делиться на 7, что неверно. 2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

2) Использовались прямоугольники 1 × 14 и 1 × 36. Этот случай невозможен, так как площадь каждого прямоугольника делится на 2, тогда и площадь квадрата 37×37 должна делиться на 2, что неверно. 3) Остался единственный случай — использовались прямоугольники 1×35 и 1×36. Он действительно возможен, см. рисунок.

Задание № 4 166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счету финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим? Ответ: 114. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Заметим, что любой гном должен когда-то обогнать всех гномов, вышедших до него, иначе он никогда не будет впереди ранее вышедших гномов. Поэтому гномы финишируют в противоположном порядке по отношению к порядку выхода. Тем самым гном, вышедший 53-м, финиширует 53-м с конца, то есть 114 с начала.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Задание № 5 Про выпуклый четырёхугольник ABCD известно, что AB = AC = 5, BC = CD = 6.

Какая наибольшая площадь у него может быть? Ответ: 27. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Заметим, что площадь треугольника ABC фиксирована, а площадь треугольника 1 ACD считается по формуле SACD = · CA · CD · sin ∠ACD. 2

Эта площадь будет максимальной, тогда максимален sin ∠ACD, то есть когда ◦ ◦ ∠ACD = 90 и sin∠ACD = sin90 = 1. 1 Площадь треугольника ABC найдем по формуле SABC = · BC·h, где h — высота 2 равнобедренного треугольника ABC из вершины A на основание BC. По теореме 1 Пифагора ℎ = √52 − 32 = 4, откуда SABC = · 6 · 4 = 12. Максимальное значение 2

площади треугольника ACD, как было показано ранее, равно · 5 · 6 · 1 = 15. 2 В итоге максимальное значение площади четырёхугольника ABCD равно 12 + 15 = 27. ◦

Отметим, что для полноты решения нужно ещё обосновать, что при ∠ACD = 90 четырёхугольник ABCD будет выпуклым, так как это требуется в условии задачи. ◦

Но заметим, что ∠ACB < 90 как угол при основании в равнобедренном треуголь◦ ◦

нике ABC, откуда ∠BCD < 180 . Для доказательства того, что ∠BAD < 180

заметим, что ∠CAD < 90 (как острый угол в прямоугольном треугольнике), и что ◦

∠BAC < 90 . Последнее можно установить, посчитав косинус этого угла по ◦

теореме косинусов. Углы ABC и ADC меньше 180 как углы в треугольниках. Итак, выпуклость четырёхугольника ABCD проверена.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Задание № 6 На картинке ниже изображены две окружности, касающиеся в точке C; O — центр одной из окружностей; AB — их общая внешняя касательная; D — вторая ◦

точка пересечения OC и окружности. Известно, что ∠AOC = 116 . Найдите градусную меру угла ∠BDC.

Ответ. 32 . Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Пусть E — центр второй окружности, тогда точки D, E, C и O лежат на одной прямой (как известно, прямая, соединяющая центры двух касающихся окружностей, проходит через точку касания).

Радиусы EB и OA перпендикулярны общей касательной BA, откуда BE∥AO, ◦

следовательно, ∠BEC = 180 − 116 = 64 . Угол BDC является вписанным, ◦

поэтому он равен половине центрального угла BEC, то есть ∠BDC = 64 /2 = 32 . Задание № 7 Квадратное уравнение f(x) = 0 имеет ровно один действительных корень t. Оказалось, что квадратное уравнение f(5x + 1) + f(7x − 5) = 0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный t). Найдите все возможные значения числа t. Ответ: 16. 5

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Так как квадратное уравнение f(x) = 0 имеет ровно 1 корень, то либо f(z) ⩾ 0 для любого

z,

либо

либо

f(z)

для

любого

z.

Поэтому

сумма

неотрицательных/неположительных чисел f(5x+1) и f(7x−5) равна 0, что возможно тогда и только тогда, когда оба они равны 0, то есть когда 5x + 1 = 7x − 5 = t, где t — единственный корень f(x). Отсюда x = 3, t = 16. Задание № 8 Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 440 включительно? Ответ. 9460. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Заметим, что разность последнего и первого членов арифметической прогрессии длины 11 делится на 10. И наоборот: если взять любые два числа (от 1 до 440), разность которых делится на 10, то существует единственная арифметическая прогрессия, где эти числа — первое и последнее. В самом деле, если x — меньшее число, а y — большее число, то искомая прогрессия имеет вид 𝑥 + 𝑘 ⋅ 𝑦−𝑥 при k = 0, 1, 2, ..., 10. 10 Таким образом, задача свелась к тому, что среди чисел от 1 до 440 надо всеми способами выбрать два различных числа, разность которых делится на 10, то есть два числа с одинаковыми остатками при делении на 10. Это первый и последний члены прогрессии. Так как чисел с каждым остатком при делении на 10 имеется 2 44, то всего таких пар 10 · 𝐶44 = 9460.