Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы — это тождества, связывающие синус, косинус, тангенс и котангенс одного или нескольких углов. Они позволяют упрощать громоздкие выражения, доказывать равенства и решать уравнения. Фундамент всей тригонометрии — основное тождество, из которого выводятся остальные соотношения. Формул много, но запоминать их механически не нужно: большинство выводятся из нескольких базовых.

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла справедливо: sin²α + cos²α = 1. Это прямое следствие теоремы Пифагора для точки на единичной окружности: координаты точки — это косинус и синус, а расстояние до центра равно радиусу, то есть единице. Из этого тождества получают: tg α = sin α / cos α и 1 + tg²α = 1 / cos²α.

Основные группы формул

Группа	Формула
Сложение (синус)	sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
Сложение (косинус)	cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Двойной угол (синус)	sin 2α = 2 sin α cos α
Двойной угол (косинус)	cos 2α = cos²α − sin²α
Понижение степени	sin²α = (1 − cos 2α)/2

Обратите внимание на знаки в формулах косинуса: они «переворачиваются» по сравнению с синусом. В косинусе суммы стоит минус, а в косинусе разности — плюс. Это самое частое место ошибок, поэтому знаки стоит запомнить отдельно.

Разбор примера

Найдём sin 2α, если sin α = 0,6 и угол α лежит в первой четверти.

Шаг 1. По основному тождеству: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. Шаг 2. В первой четверти косинус положителен, поэтому cos α = √0,64 = 0,8 (положительный корень). Шаг 3. Применяем формулу двойного угла: sin 2α = 2 · sin α · cos α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96. Ответ: sin 2α = 0,96.

Ключевой момент — правильный выбор знака косинуса. Без указания четверти задача имела бы два ответа.

Формулы приведения

Отдельная важная группа — формулы приведения. Они позволяют свести функцию любого угла к функции острого угла из первой четверти. Например, sin(180° − α) = sin α, cos(90° − α) = sin α, cos(180° + α) = −cos α. Правило простое: если в аргументе участвуют 90° или 270°, функция меняется на «соседнюю» (синус на косинус и наоборот); если 180° или 360° — функция сохраняется. Знак результата определяют по четверти исходного угла. Эти формулы постоянно нужны при упрощении выражений и решении уравнений.

Частые ошибки: пишут sin 2α = 2 sin α — это грубая ошибка, двойка относится к углу, а не выносится множителем; путают знаки в формулах косинуса суммы и разности; забывают определить четверть угла и берут неверный знак при извлечении корня.

Кратко о главном

• Основное тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Формулы сложения связывают функции суммы и разности углов.
• sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α.
• В формулах косинуса знаки противоположны знакам синуса.
• Четверть угла определяет знак синуса и косинуса.