Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическим называют уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком тригонометрической функции, например sin x = 1/2. Поскольку синус и косинус периодичны и повторяют свои значения через каждые 2π, такие уравнения имеют, как правило, бесконечно много корней. Чтобы записать их все сразу, используют формулы общего решения с целым параметром n.

Обратные тригонометрические функции

Чтобы выразить угол по известному значению функции, вводят арксинус, арккосинус и арктангенс. Например, arcsin a — это угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; arccos a — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Эти функции возвращают одно конкретное значение угла, а формула общего решения «размножает» его по всей числовой оси.

Формулы общего решения

Уравнение	Общее решение	Условие
sin x = a	x = (−1)ⁿ arcsin a + πn	|a| ≤ 1
cos x = a	x = ± arccos a + 2πn	|a| ≤ 1
tg x = a	x = arctg a + πn	любое a

Здесь n — любое целое число. Полезно помнить частные случаи, которые встречаются особенно часто: sin x = 0 ⇒ x = πn, cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn.

Разбор примера

Решим уравнение 2 cos x − 1 = 0.

Шаг 1. Выразим косинус: 2 cos x = 1, значит cos x = 1/2. Шаг 2. Проверим существование решения: |1/2| ≤ 1 — корни есть. Шаг 3. Применяем формулу для косинуса: x = ± arccos(1/2) + 2πn. Шаг 4. Известно табличное значение arccos(1/2) = π/3. Ответ: x = ± π/3 + 2πn, где n — любое целое число.

Знак «плюс-минус» здесь не случаен: косинус одинаков для угла и для противоположного ему, поэтому решений в каждом периоде два.

Более сложные уравнения

Не все уравнения сразу имеют простейший вид. Часто их приводят к нему преобразованиями: выносят общий множитель, применяют основное тождество или формулы двойного угла, вводят замену. Например, уравнение 2 sin²x + sin x − 1 = 0 сводится к квадратному заменой t = sin x: решают 2t² + t − 1 = 0, находят корни t = 1/2 и t = −1, а затем возвращаются к простейшим уравнениям sin x = 1/2 и sin x = −1. При замене обязательно учитывают ограничение |t| ≤ 1 и отбрасывают неподходящие значения.

Частые ошибки: пытаются решить уравнение при |a| > 1 — например, sin x = 2 корней не имеет; путают формулы для синуса и косинуса; забывают целый параметр n и теряют бесконечную серию корней; путают знаки ± в решении для косинуса.

Кратко о главном

• В тригонометрических уравнениях неизвестное стоит под знаком функции.
• Из-за периодичности корней обычно бесконечно много.
• sin x = a и cos x = a решаемы только при |a| ≤ 1.
• Общее решение содержит целый параметр n.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс задают угол по значению функции.