Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс — связывают угол с отношениями величин. В школьном курсе их определяют двумя способами: через прямоугольный треугольник и через единичную окружность. Второй способ важнее: он позволяет говорить о синусе и косинусе любого угла, в том числе тупого, развёрнутого и отрицательного, для которых треугольник построить нельзя.

Определение через единичную окружность

Возьмём окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Повернём начальный радиус на угол α против часовой стрелки. Тогда координаты полученной точки и есть значения функций: cos α — это абсцисса (координата x), sin α — ордината (координата y). Тангенс определяют как tg α = sin α / cos α, а котангенс — как обратное отношение ctg α = cos α / sin α.

Поскольку точка лежит на окружности радиуса 1, её координаты не могут превышать по модулю единицу. Отсюда сразу следует, что и синус, и косинус всегда лежат в отрезке [−1; 1].

Знаки по четвертям

Четверть	sin α	cos α	tg α
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

Запомнить знаки помогает простая логика: синус «отвечает» за высоту (координату y), косинус — за положение по горизонтали (координату x). Где соответствующая координата положительна, там функция со знаком плюс. Тангенс положителен там, где синус и косинус одного знака.

Разбор примера

Определим знак cos 200° и приблизительно оценим его значение.

Шаг 1. Угол 200° лежит между 180° и 270° — это III четверть. Шаг 2. В III четверти точка окружности имеет отрицательную абсциссу, а косинус — это и есть абсцисса, значит cos 200° < 0. Шаг 3. Угол близок к 180°, где cos = −1, поэтому значение близко к −0,94 (отрицательное, по модулю около единицы). Ответ: cos 200° отрицателен и приближённо равен −0,94.

Радианная мера и периодичность

Углы в тригонометрии чаще измеряют не в градусах, а в радианах. Один радиан — это угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Полный оборот составляет 2π радиан, что соответствует 360°, а развёрнутый угол — π радиан, то есть 180°. Все тригонометрические функции периодичны: синус и косинус повторяют свои значения через 2π, а тангенс — через π. Это значит, что точка на окружности после полного оборота возвращается в исходное положение, поэтому sin(α + 2π) = sin α. Периодичность — причина того, что тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней.

Частые ошибки: путают, что косинус — это x, а синус — это y (а не наоборот); считают, что синус и косинус могут быть больше единицы — нет, их значения всегда лежат в отрезке [−1; 1]; ошибаются со знаком, неверно определив четверть угла.

Кратко о главном

• На единичной окружности cos α — это координата x, sin α — координата y точки.
• Значения синуса и косинуса всегда лежат в отрезке [−1; 1].
• tg α = sin α / cos α, определён при cos α ≠ 0.
• Знак функции зависит от четверти, в которой лежит угол.
• Единичная окружность задаёт функции для любого угла.