Системы счисления
💻 Информатика · 7 класс
Системы счисления
Система счисления — это способ записи чисел с помощью знаков-цифр по определённым правилам. Привычная нам десятичная система использует десять цифр (от 0 до 9), и её основание равно 10. Скорее всего, она появилась потому, что у человека десять пальцев. Но в вычислительной технике применяют и другие основания: внутри компьютера всё хранится двумя состояниями — есть электрический сигнал или нет, — поэтому машине ближе двоичная система.
Позиционные системы
В позиционной системе значение цифры зависит от её места (позиции) в записи. В числе 333 каждая тройка означает разное: левая — сотни, средняя — десятки, правая — единицы. Каждая позиция соответствует определённой степени основания: единицы — это основание в степени 0, следующий разряд — в степени 1, и так далее. Все системы, которые изучают в школе, — позиционные.
Какие системы изучают
| Система | Основание | Используемые цифры |
|---|---|---|
| Двоичная | 2 | 0, 1 |
| Восьмеричная | 8 | 0–7 |
| Десятичная | 10 | 0–9 |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A, B, C, D, E, F |
В шестнадцатеричной системе обычных цифр не хватает, поэтому используют буквы латинского алфавита: A обозначает 10, B — 11, и так далее до F, равного 15.
Перевод в десятичную систему
Чтобы перевести число в привычную десятичную систему, каждую цифру умножают на основание в степени её позиции (позиции считают справа налево, начиная с нуля), а результаты складывают. Этот способ называют развёрнутой записью числа.
Перевод 1011 (двоичное) в десятичную:
1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Значит, 1011₂ = 11₁₀Перевод из десятичной системы
Чтобы перевести число из десятичной системы в другую, его делят на основание с остатком, и так повторяют, пока частное не станет равным нулю. Затем выписывают полученные остатки — но обязательно снизу вверх, от последнего к первому. Эта запись и будет числом в новой системе счисления.
Перевод 13 в двоичную систему:
13 : 2 = 6, остаток 1
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
Читаем остатки снизу вверх: 1101
Значит, 13₁₀ = 1101₂Частые ошибки. Остатки выписывают именно снизу вверх — если сделать наоборот, ответ окажется перевёрнутым. В двоичной системе нет цифры 2, а в восьмеричной нет цифр 8 и 9, их появление означает ошибку. И не забывайте: основание в степени 0 всегда равно 1, а не нулю.
Кратко о главном
- Система счисления задаётся основанием и набором цифр.
- В позиционной системе значение цифры зависит от её места в записи.
- В десятичную переводят умножением цифр на степени основания и сложением.
- Из десятичной — делением с остатком, остатки читают снизу вверх.
- В шестнадцатеричной системе буквы A–F означают числа от 10 до 15.