Номер 1059 — Алгебра 9 класс

Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше 1/4, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше 1/10. Найдите такие дроби.

1. Дробь x/(x² − 1), x ≥ 2 натуральное. Условия: (x + 2)/(x² + 1) > 1/4, то есть x² − 4x − 7 < 0, x < 2 + √11 ≈ 5,3; (x − 3)/(x² − 4) < 1/10, то есть x² − 10x + 26 > 0 — верно при всех x.
2. Подходят x = 2, 3, 4, 5, но при x = 2 дробь 2/3 после уменьшения на 3 теряет смысл; при x = 3 числитель обращается в 0. Дроби с натуральными числителем и знаменателем после уменьшения: 4/15 и 5/24 (а также 3/8, если допускать нулевой числитель).