Условие
Докажите, что при любом a выполняется неравенство 1/3 ≤ (a² − a + 1)/(a² + a + 1) ≤ 3.
Разбор задания
Номер 1062 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Задачи повышенной трудности · страница 212
Решение
- Знаменатель a² + a + 1 > 0 при всех a (D < 0), поэтому можно умножать на него.
- Левое неравенство: a² + a + 1 ≤ 3a² − 3a + 3, 2a² − 4a + 2 ≥ 0, 2(a − 1)² ≥ 0 — верно.
- Правое: a² − a + 1 ≤ 3a² + 3a + 3, 2a² + 4a + 2 ≥ 0, 2(a + 1)² ≥ 0 — верно.
Ответ
оба неравенства сводятся к 2(a ∓ 1)² ≥ 0
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →