Условие
Пусть a₁, a₂, … — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (xₙ), где xₙ = 1/(√aₙ + √aₙ₊₁), равна n/(√a₁ + √aₙ₊₁).
Разбор задания
Номер 1071 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Задачи повышенной трудности · страница 213
Решение
- Умножим числитель и знаменатель на √aₙ₊₁ − √aₙ: xₙ = (√aₙ₊₁ − √aₙ)/(aₙ₊₁ − aₙ) = (√aₙ₊₁ − √aₙ)/d.
- Сумма телескопируется: Sₙ = (√aₙ₊₁ − √a₁)/d. Так как aₙ₊₁ − a₁ = nd, то d = (√aₙ₊₁ − √a₁)(√aₙ₊₁ + √a₁)/n, и Sₙ = n/(√a₁ + √aₙ₊₁).
Ответ
Sₙ = (√aₙ₊₁ − √a₁)/d = n/(√a₁ + √aₙ₊₁)
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →