Условие
Докажите, что при любом натуральном значении n > 1 верно неравенство 1/2 < ⁿ√((1 · 3 · 5 · … · (2n − 1))/(2 · 4 · 6 · … · 2n)) < 1.
Разбор задания
Номер 1075 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Задачи повышенной трудности · страница 214
Решение
- Подкоренное выражение P — произведение n дробей (2k − 1)/(2k), k = 1, …, n. Каждая дробь меньше 1, поэтому P < 1 и ⁿ√P < 1.
- Каждая дробь (2k − 1)/(2k) = 1 − 1/(2k) ≥ 1/2, причём при k ≥ 2 строго больше 1/2. Значит, при n > 1 P > (1/2)ⁿ и ⁿ√P > 1/2.
Ответ
все множители (2k − 1)/(2k) лежат в [1/2; 1), поэтому (1/2)ⁿ < P < 1
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →