Условие
Докажите, что значение выражения (5 + 10ⁿ⁺¹)(1 + 10 + … + 10ⁿ) + 1 при любом натуральном n можно представить в виде квадрата натурального числа.
Разбор задания
Номер 1083 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Задачи повышенной трудности · страница 216
Решение
- 1 + 10 + … + 10ⁿ = (10ⁿ⁺¹ − 1)/9. Обозначим m = 10ⁿ⁺¹: выражение равно (5 + m)(m − 1)/9 + 1 = (m² + 4m − 5 + 9)/9 = (m² + 4m + 4)/9 = ((m + 2)/3)².
- Число m + 2 = 10ⁿ⁺¹ + 2 имеет сумму цифр 3 и делится на 3, поэтому (m + 2)/3 — натуральное число.
Ответ
выражение равно ((10ⁿ⁺¹ + 2)/3)² — квадрат натурального числа
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →