Условие
Пусть (uₙ) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u₁ = 1, u₂ = 1, uₙ₊₂ = uₙ + uₙ₊₁. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством: а) u₁ + u₃ + u₅ + … + u₂ₙ₋₁ = u₂ₙ; б) u₁² + u₂² + … + uₙ² = uₙ · uₙ₊₁.
Разбор задания
Номер 669 — Алгебра 9 класс
Макарычев Ю. Н. · Глава IV. Арифметическая и геометрическая прогрессии · страница 133
Решение
- а) База: u₁ = 1 = u₂. Шаг: если u₁ + … + u₂ₙ₋₁ = u₂ₙ, то, прибавив u₂ₙ₊₁, получим u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂ — утверждение для n + 1.
- б) База: u₁² = 1 = u₁u₂. Шаг: если u₁² + … + uₙ² = uₙuₙ₊₁, то, прибавив uₙ₊₁², получим uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.
Ответ
оба свойства доказываются индукцией с использованием uₙ₊₂ = uₙ + uₙ₊₁
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Алгебра» за 9 класс.
Степени с целым показателемСтепень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.Квадратный трёхчленРазложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.Числовые последовательностиПонятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.Геометрическая прогрессияЗнаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.Степенная функцияy = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.Уравнения и неравенства с модулемОпределение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.
Все темы по предмету «Алгебра» за 9 класс →