Номер 914 — Алгебра 9 класс

Упростите выражение: а) 1/2 + (3m/(1 − 3m) + 2m/(3m + 1)) · (9m² − 6m + 1)/(6m² + 10m); б) (1/(x + y) − y²/(xy² − x³)) : ((x − y)/(x² + xy) − x/(y² + xy)) − x/(x + y); в) (2a + 3)/(2a − 3) · ((2a² + 3a)/(4a² + 12a + 9) − (3a + 2)/(2a + 3)) + (4a − 1)/(2a − 3) − (a − 1)/a; г) ((a + 3)/(a² + 2a + 1) + (a − 1)/(a² − 2a − 3)) · (a² − 2a − 3)/(a + 2) − 1; д) 3(m + 3)/(m² + 3m + 9) + (m³ − 3m²)/(m + 3)² · (3m/(m³ − 27) + 1/(m − 3)); е) ((9x² + 8)/(27x³ − 1) − 1/(3x − 1) + 4/(9x² + 3x + 1)) · (3x − 1)/(3x + 1).

1. а) В скобках: (3m(3m + 1) + 2m(1 − 3m))/((1 − 3m)(3m + 1)) = m(3m + 5)/((1 − 3m)(3m + 1)). Умножаем на (3m − 1)²/(2m(3m + 5)): (1 − 3m)/(2(3m + 1)). Прибавляем 1/2: (3m + 1 + 1 − 3m)/(2(3m + 1)) = 1/(3m + 1).
2. б) Первая скобка: (xy − x² − y²)/(x(y − x)(y + x)); вторая: (y(x − y) − x²)/(xy(x + y)) = (xy − y² − x²)/(xy(x + y)). Частное: y/(y − x). Затем y/(y − x) − x/(x + y) = (y(x + y) − x(y − x))/((y − x)(x + y)) = (x² + y²)/(y² − x²).
3. в) В скобках: (2a² + 3a − (3a + 2)(2a + 3))/(2a + 3)² = (−4a² − 10a − 6)/(2a + 3)². Умножаем на (2a + 3)/(2a − 3), прибавляем (4a − 1)/(2a − 3): ((−4a² − 10a − 6) + (4a − 1)(2a + 3))/((2a − 3)(2a + 3)) = (4a² − 9)/(4a² − 9) = 1. Итог: 1 − (a − 1)/a = 1/a.
4. г) В скобках: ((a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1))/((a + 1)²(a − 3)) = (2a² − 10)/((a + 1)²(a − 3)). Умножаем на (a + 1)(a − 3)/(a + 2): (2a² − 10)/((a + 1)(a + 2)). Вычитаем 1: (2a² − 10 − a² − 3a − 2)/(a² + 3a + 2) = (a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2).
5. д) Вторая скобка: (3m + m² + 3m + 9)/((m − 3)(m² + 3m + 9)) = (m + 3)²/((m − 3)(m² + 3m + 9)). Умножаем на m²(m − 3)/(m + 3)²: m²/(m² + 3m + 9). Итог: (3m + 9 + m²)/(m² + 3m + 9) = 1.
6. е) В скобках: (9x² + 8 − (9x² + 3x + 1) + 4(3x − 1))/((3x − 1)(9x² + 3x + 1)) = (9x + 3)/(…) = 3(3x + 1)/((3x − 1)(9x² + 3x + 1)). Умножаем на (3x − 1)/(3x + 1): 3/(9x² + 3x + 1).