Параллельные прямые
📏 Геометрия · 7 класс
Параллельные прямые
Параллельными называют две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны. Записывают это так: a ∥ b. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную ей, — это знаменитая аксиома параллельных прямых, на которой держится вся планиметрия. Примеры параллельных линий вокруг нас: рельсы железной дороги, противоположные края линейки, строки в тетради.
Углы при двух прямых и секущей
Когда две прямые пересекает третья прямая, которую называют секущей, образуется восемь углов. Среди них выделяют особые пары, имеющие собственные названия. Именно эти пары используют, чтобы доказывать или применять параллельность.
| Пара углов | Где расположены | При параллельных прямых |
|---|---|---|
| Накрест лежащие | По разные стороны секущей, внутри между прямыми | Равны |
| Соответственные | По одну сторону секущей, на одинаковых местах | Равны |
| Односторонние | По одну сторону секущей, внутри между прямыми | В сумме дают 180° |
Признаки параллельности
Признак — это условие, по которому можно утверждать, что прямые параллельны. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей выполняется хотя бы одно из условий:
- накрест лежащие углы равны;
- соответственные углы равны;
- сумма односторонних углов равна 180°.
Достаточно проверить только одно из этих условий — остальные тогда выполнятся автоматически.
Свойства углов при параллельных прямых
Если прямые уже известно, что параллельны, то верно обратное утверждение: накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а односторонние дают в сумме 180°. Важно понимать направление рассуждения: признак ведёт от углов к параллельности, а свойство — от параллельности к углам.
Разберём задачу пошагово.
Дано: a ∥ b, их пересекает секущая, один из накрест лежащих углов = 50°.
Шаг 1. По свойству накрест лежащие углы равны, значит второй тоже равен 50°.
Шаг 2. Односторонний угол к нему: 180° − 50° = 130°.
Шаг 3. Соответственный угол равен данному: 50°.
Шаг 4. Смежный с данным углом: 180° − 50° = 130°.Частые ошибки. Накрест лежащие и односторонние углы путают чаще всего: накрест лежащие равны, а односторонние дают в сумме 180°, а не равны. Признак и свойство — это разные направления рассуждения: нельзя пользоваться свойством, пока параллельность не доказана. Соответственные углы ищут «на одинаковых местах» относительно секущей.
Кратко о главном
- Параллельные прямые на плоскости не пересекаются ни при каком продолжении.
- Секущая образует накрест лежащие, соответственные и односторонние углы.
- Признаки параллельности: равны накрест лежащие, равны соответственные или сумма односторонних равна 180°.
- При параллельных прямых те же пары углов обладают этими свойствами.
- Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.