Олимпиада по математике 7 класс — пригласительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г. ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Максимальное количество баллов — 8 1. Замените буквы в дробях на числа от 1 до 5 так, чтобы значение каждой дроби было целым числом. Каждое число можно использовать только один раз. 8 9 10 6 7 A B C D E Постройте соответствие. • Вместо A надо поставить • Вместо B надо поставить • Вместо C надо поставить • Вместо D надо поставить • Вместо E надо поставить

• число 1. • число 2. • число 3. • число 4. • число 5.

Ответ: A — 4, B — 3, C — 5, D — 2, E — 1. Решение. Заметим, что 7 делится среди перечисленных чисел только на 1, поэтому вместо буквы E поставим единицу: 8 9 10 6 7 A B C D 1 Теперь поймём, куда можно поставить числа 4 и 5. Единственное число, которое делится на 4, — это 8, а единственное число, которое делится на 5, — это 10: 8 9 10 6 7 4 B 5 D 1 Осталось лишь понять, где будет стоять число 2, а где — 3. Из оставшихся чисел только 6 делится на 2, поэтому искомая конструкция определяется однозначно: 8 9 10 6 7 4 3 5 2 1 2. У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих вычислений Лёня заметил, что с помощью всех своих пятирублёвых монет и ещё 40 рублей он может купить ровно 4 пиццы без сдачи, а с помощью всех своих десятирублёвых монет и ещё 50 рублей он может купить ровно 5 пицц без сдачи. При этом у Лёни хватает денег на 6 пицц без сдачи. Сколько рублей стоит одна пицца? Ответ: 30. 1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

Решение. Пусть у Лёни есть 𝑥 пятирублёвых монет и 𝑦 десятирублёвых монет, а стоимость одной пиццы составляет 𝑃 рублей. • Из первой части условия мы получаем, что 5𝑥 + 40 = 4𝑃, то есть 5𝑥 = 4𝑃 − 40. • Из второй части условия мы получаем, что 10𝑦 + 50 = 5𝑃, то есть 10𝑦 = 5𝑃 − 50. Сложив эти равенства, мы получим 5𝑥 + 10𝑦 = (4𝑃 − 40) + (5𝑃 − 50) = 9𝑃 − 90, а по условию задачи это равно 6𝑃. Получаем и решаем соответствующее уравнение: 9𝑃 − 90 = 6𝑃, 3𝑃 = 90, 𝑃 = 30. 3. Друзья Алексей, Василий и Сергей смотрели матч по мини-футболу. После окончания матча они сказали следующее. • Алексей: «Первая команда забила 17 голов. А вторая — больше 14». • Василий: «Первая команда забила больше 18 голов. А вторая — не больше 14». • Сергей: «Первая команда забила меньше 20 голов. А вторая — ровно 14». Оказалось, что ровно один из друзей оба раза ошибся, а двое других оба раза сказали правду. Сколько голов забила каждая команда? Ответ: 19 : 14. Решение. Заметим, что утверждение, которое сделал Алексей о количестве голов второй команды («больше 14»), противоречит и утверждению Василия («не больше 14»), и утверждению Сергея («ровно 14»). Получается, что если Алексей сказал правду, то и Василий, и Сергей ошиблись, а это невозможно. Следовательно, Алексей ошибся, а Василий и Сергей сказали правду. Со слов Василия мы знаем, что первая команда забила больше 18 голов, а со слов Сергея — что меньше 20 голов. Значит, первая команда забила в точности 19 голов. Теперь подумаем про результат второй команды. Со слов Сергея мы знаем, что эта команда забила в точности 14 голов, и это не противоречит словам Василия. Получается, что итоговый счёт — 19 : 14. Осталось лишь заметить, что Алексей в обоих своих утверждениях действительно ошибся.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

4. Ваня придумал способ шифровать семизначные числа, состоящие из всех цифр от 1 до 7. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает, сколько цифр справа от неё меньше, чем она сама, а затем убирает само число. Например, если бы у Вани было число 4567123, то он бы его зашифровал как 3333000. Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 4303200? Ответ: 5417623. Решение. Для начала рассмотрим первую цифру. Справа от неё остается шесть других цифр, и она больше ровно четырёх из них. Таким образом, она является пятой по величине, и равна 5: 5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗. Вторая цифра больше трёх цифр из оставшихся шести (всех, кроме пятёрки), поэтому на втором месте стоит цифра 4: 5 4 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗. Третья цифра не больше всех её соседей справа. Это может быть только цифра 1: 5 4 1 ∗ ∗ ∗ ∗. Пока не ясно, где стоят цифры 7, 6, 3, 2. Но четвертая цифра больше всех цифр, стоящих правее неё. То же самое справедливо и для пятой цифры. Поэтому на эти места мы ставим цифры 7 и 6 соответственно: 5 4 1 7 6 ∗ ∗. Предпоследняя цифра не больше последней, поэтому предпоследняя цифра равна 2, а последняя — 3: 5417623. 5. На рисунке изображены два квадрата. Сколько градусов составляет отмеченный угол?

Ответ: 32. Решение. Введём обозначения, как на рисунке. Начнём с того, что найдём градусные 3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

меры углов треугольника 𝐴𝑀𝐿: • ∠𝑀𝐴𝐿 = 180° − ∠𝑋𝐴𝐵 − ∠𝐵𝐴𝐷 = 180° − 71° − 90° = 19°, • ∠𝑀𝐿𝐴 = 180° − ∠𝐾𝐿𝑌 − ∠𝑀𝐿𝐾 = 180° − 77° − 90° = 13°, • ∠𝐴𝑀𝐿 = 180° − ∠𝑀𝐴𝐿 − ∠𝑀𝐿𝐴 = 180° − 19° − 13° = 148°.

Рисунок к решению задачи 5. Найдём градусную меру искомого угла, используя факт о том, что сумма углов любого четырёхугольника равна 360°: ∠𝑁𝐶𝐷 = 360° − ∠𝐶𝑁𝑀 − ∠𝐶𝐷𝑀 − ∠𝑁𝑀𝐷 = 360° − 90° − 90° − ∠𝐴𝑀𝐿 = = 180° − 148° = 32°. 6. Алиса нарисовала на квадратном листе бумаги несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий красного цвета, а Боря нарисовал на том же листе несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий синего цвета (каждая из линий параллельна двум сторонам листа и пересекает две его другие стороны; каждый из ребят нарисовал не менее 1 вертикальной и не менее 1 горизонтальной прямой). Известно, что если разрезать лист по красным линиям, то получится 39 кусочков, а если разрезать и по красным, ипосиним линиям, то получится 95 кусочков. Сколько кусочков получится, если разрезать лист бумаги только по синим линиям? Ответ: 21. Решение. Пусть горизонтальных красных линий было 𝑎, вертикальных красных — 𝑏, горизонтальных синих — 𝑐, вертикальных синих — 𝑑. По условию, если разрезать лист по красным линиям, то получится 39 кусочков, то есть (𝑎 + 1)(𝑏 + 1) = 39, а если разрезать и по красным, и по синим линиям, то получится 95 кусочков, то есть (𝑎 + 𝑐 + 1)(𝑏 + 𝑑 + 1) = 95. В силу того, что 𝑎 + 1 ⩾ 2 и 𝑏 + 1 ⩾ 2, а 39 можно представить в виде произведения двух чисел, больших единицы, единственным образом 39 = 3 ⋅ 13, 4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

получаем, что числа 𝑎 и 𝑏 равны 2 и 12 в некотором порядке. Будем считать, что 𝑎 = 2 и 𝑏 = 12 (в случае, когда 𝑎 = 12 и 𝑏 = 2, всё аналогично). Из равенства (𝑎 + 𝑐 + 1)(𝑏 + 𝑑 + 1) = 95 = 5 ⋅ 19 аналогично получаем, что 𝑎 + 𝑐 и 𝑏 + 𝑑 равны 4 и 18 в некотором порядке. В силу того, что 𝑏 = 12, число 𝑏 + 𝑑 не может быть равно 4, поэтому 𝑏 + 𝑑 = 18. Тогда 𝑑 = 6, а 𝑎 + 𝑐 = 4, то есть 𝑐 = 2. Таким образом, количество кусочков при разрезании только по синим линиям равняется (𝑐 + 1)(𝑑 + 1) = 3 ⋅ 7 = 21. 7. Из 216 синих кубиков сложили большой куб 6×6×6. Затем его поверхность покрасили в белый цвет. Какое наибольшее количество кубиков (из этих 216) можно выложить в ряд так, чтобы любые два соседних кубика соприкасались синими гранями? Ответ: 210. Решение. Заметим, что у всех кубиков в ряду, не считая двух крайних, какие-то две противоположные грани должны быть синими, а у двух крайних должно быть хотя бы по одной синей грани. При покраске куба 6 × 6 × 6 только у 8 угловых кубиков не будет двух проти-воположных синих граней, поэтому из этих 8 кубиков можно использовать максимум 2, по краям ряда. Таким образом, кубиков в ряду не более 216 − 6 = 210. Осталось заметить, что 210 кубиков можно выстроить в ряд с соблюдением условия. Выстроим все не угловые кубики (очевидно, у всех них найдутся две противоположные синие грани) в ряд так, чтобы крайние грани ряда были синие, и с обоих краёв добавим по одному угловому кубику (приложив синей гранью). 8. Биссектрисы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐼. Через неё проведены прямые 𝐾𝑀, 𝐿𝑁, 𝑆𝑇, параллельные 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 соответственно. Причём точки 𝐾 и 𝐿 лежат на отрезке 𝐴𝐶, точки 𝑆 и 𝑁 — на 𝐴𝐵, точки 𝑀 и 𝑇 — на 𝐵𝐶. Найдите периметр треугольника 𝐼𝐾𝐿, если известно, что периметр 𝑆𝑁𝐼 равен 8, периметр 𝑀𝑇𝐼 равен 11, а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 33.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

Ответ: 14. 𝐼 Решение. Докажем, что периметр треугольника 𝐼𝐾𝐿 (далее будем обозначать его 𝑃I𝐾𝐿) равен длине 𝐴𝐶. Заметим, что ∠𝑆𝐴𝐼 = ∠𝐴𝐼𝐾, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых 𝐴𝐵 и 𝐾𝑀 и секущей 𝐴𝐼. Получается, что ∠𝐾𝐴𝐼 = ∠𝑆𝐴𝐼 = ∠𝐴𝐼𝐾, то есть треугольник 𝐴𝐾𝐼 — равнобедренный, 𝐴𝐾 = 𝐾𝐼. Аналогично можно доказать, что треугольник 𝐿𝐼𝐶 — также равнобедренный, 𝐿𝐼 = 𝐿𝐶. Значит, 𝑃𝐼𝐾𝐿 = 𝐼𝐾 + 𝐾𝐿 + 𝐿𝐼 = 𝐴𝐾 + 𝐾𝐿 + 𝐿𝐶 = 𝐴𝐶.

Аналогично можно получить, что 𝑃 𝐼𝑆𝑁 = 𝐴𝐵 и 𝑃𝐼𝑀𝑇 = 𝐵𝐶. Сложим все эти периметры: 𝑃𝐼𝐾𝐿 + 𝑃𝐼𝑆𝑁 + 𝑃𝐼𝑀𝑇 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝑃 A𝐵𝐶 = 33. Теперь уже легко найти искомую величину: 𝑃𝐼𝐾𝐿 = 33 − 𝑃𝐼𝑆𝑁 − 𝑃𝐼𝑀𝑇 = 33 − 8 − 11 = 14.