Основные понятия геометрии
📏 Геометрия · 7 класс
Основные понятия геометрии
Любая наука должна с чего-то начинаться. Геометрия начинается с понятий, которые не определяют через другие, — их называют основными, или неопределяемыми. Это точка, прямая и плоскость. Им не дают строгого определения, потому что определять пришлось бы через ещё более простые понятия, а их не существует. Вместо определений описывают свойства этих объектов с помощью аксиом — утверждений, которые принимают без доказательства как очевидные.
Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости, называют планиметрией. Именно её изучают в 7–9 классах.
Точка, прямая, плоскость
Точка не имеет размеров — ни длины, ни ширины; её представляют как след остро отточенного карандаша. Обозначают точку большой латинской буквой: A, B, C. Прямая бесконечна в обе стороны, её обозначают малой латинской буквой a либо двумя точками, лежащими на ней. Плоскость — бесконечная ровная поверхность; её можно представить как идеально гладкий бесконечный лист.
Отрезок и луч
Из прямой получаются производные фигуры, с которыми работают чаще всего. Отрезок — часть прямой между двумя точками, которые называют его концами; отрезок имеет определённую длину. Луч — часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом) и бесконечно продолжающаяся в другую сторону.
| Фигура | Границы | Длина |
|---|---|---|
| Прямая | Нет границ | Бесконечна |
| Луч | Одна граница (начало) | Бесконечна |
| Отрезок | Две границы (концы) | Конечная, измеряется |
Аксиомы планиметрии
Аксиомы задают правила, по которым «работает» плоскость. На них опираются все дальнейшие доказательства. Главные из аксиом такие:
- Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
- Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
- На любом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.
- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Пример применения аксиом
Покажем, как из аксиом получают конкретный вывод о длинах отрезков.
Дано: точки A, B, C лежат на одной прямой, точка B лежит между A и C.
Шаг 1. По аксиоме отрезок AC имеет определённую длину.
Шаг 2. Точка B делит этот отрезок на части AB и BC.
Шаг 3. По свойству измерения длины складываются: AC = AB + BC.
Шаг 4. Если AB = 3 см, а BC = 4 см, то AC = 3 + 4 = 7 см.Частые ошибки. Прямую путают с отрезком: прямая бесконечна, а отрезок ограничен двумя концами. Точку нельзя «измерить» — у неё нет размеров. Через две точки проходит только одна прямая, поэтому нельзя провести через них две разные прямые. Луч и отрезок тоже разные: у луча только одна граница, у отрезка — две.
Кратко о главном
- Точка, прямая и плоскость — основные неопределяемые понятия геометрии.
- Отрезок ограничен двумя концами и имеет длину, луч ограничен только началом.
- Аксиомы — утверждения без доказательства, на которых строится вся геометрия.
- Через любые две точки проходит ровно одна прямая.
- Если точка лежит между двумя другими, длины отрезков складываются.