Признаки равенства треугольников
📏 Геометрия · 7 класс
Признаки равенства треугольников
Два треугольника называют равными, если их можно полностью совместить наложением: при этом совпадут все три стороны и все три угла. Проверять все шесть элементов на практике неудобно, поэтому математики доказали признаки равенства — правила, по которым достаточно совпадения всего трёх правильно выбранных элементов, чтобы утверждать равенство целиком. Это один из самых мощных инструментов планиметрии.
Три признака
В школьном курсе изучают три основных признака равенства. Запомнить их помогает чтение по буквам: С — сторона, У — угол. Порядок букв показывает, как расположены элементы.
| Признак | Что должно совпадать | Важное условие |
|---|---|---|
| Первый (СУС) | Две стороны и угол между ними | Угол обязательно лежит между сторонами |
| Второй (УСУ) | Сторона и два прилежащих к ней угла | Углы прилежат именно к этой стороне |
| Третий (ССС) | Три стороны | Соответственные стороны попарно равны |
Как применять признаки
Чтобы доказать равенство треугольников, нужно найти и обосновать совпадение трёх элементов по одному из признаков. Часто один из элементов оказывается общей стороной или общим углом для двух треугольников, и тогда его равенство очевидно. После того как равенство доказано, из него делают вывод о равенстве остальных сторон и углов. Такой приём — основной способ доказывать равенство отрезков и углов на чертеже: сначала находят два треугольника, затем доказывают их равенство, и только потом получают нужное равенство как следствие.
Следствия
Из равенства треугольников следует, что все соответственные элементы равны. Это правило часто используют, чтобы доказать равенство отрезков или углов, которые напрямую измерить или сравнить нельзя. Так доказываются многие свойства фигур. Например, именно через признаки равенства треугольников доказывают, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Разберём доказательство пошагово.
Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, угол A = угол A₁.
Шаг 1. Две стороны (AB и AC) и угол между ними (угол A) совпадают.
Шаг 2. Угол A лежит именно между сторонами AB и AC.
Шаг 3. По первому признаку (СУС) треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Шаг 4. Следствие: BC = B₁C₁, угол B = угол B₁, угол C = угол C₁.Частые ошибки. В первом признаке угол должен лежать именно между двумя данными сторонами — если он не между ними, признак не работает. Во втором признаке оба угла должны прилежать к данной стороне. Совпадение трёх углов не доказывает равенство треугольников — оно даёт только подобие.
Кратко о главном
- Равные треугольники совмещаются наложением: все их элементы совпадают.
- Первый признак — две стороны и угол между ними (СУС).
- Второй признак — сторона и два прилежащих к ней угла (УСУ).
- Третий признак — три стороны (ССС).
- Из равенства треугольников следует равенство всех соответственных сторон и углов.