Олимпиада по математике 9 класс — пригласительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКА. 2024 г. ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Максимальное количество баллов — 8. Задание № 1 Учительница составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учительница в произведении 345612 · 653209 между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Учительница выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными. Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учительнице? Ответ: 9. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Что значит «между какими-то двумя цифрами числа поставить запятую»? Это значит «поделить число на некоторую степень 10». 345612

Например, 3456,12 = . 102 Следовательно, ответ в каждом варианте будет равен 345612 653209 10𝑘

10𝑙

653209 ⋅ 345612 10𝑘+𝑙

для некоторых k и ℓ. Какие значения могут принимать k и ℓ? Наименьшая степень 10, на которую можно поделить 345612 равна 1 (т. е. k ⩾ 1), а наибольшая равна 5 (для числа 3,45612; т. е. k ⩽ 5). Аналогично, 1 ⩽ ℓ ⩽ 5. Значит, 2 ⩽ k + ℓ ⩽ 10, т. е. k + ℓ принимает 9 значений, значит и вариантов максимум получится 9. Задание № 2 К правильному пятиугольнику приставили правильный треугольник. Чемуравна градусная мера угла, обозначенного знаком «?»?

Ответ: 54. Точное совпадение ответа — 1 балл

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Решение. Главное наблюдение в этой задаче — картинка симметрична относительно отрезка, соединяющего вершину пятиугольника и вершину треугольника. Значит, ответ — половина угла правильного пятиугольника, т.е. 1 180∘ ⋅ (5 − 2) ⋅ = 54∘ 2 5

Комментарий. Рассуждение выше неправильно называть «доказательство», ведь мы никак не доказали, что картинка и правда симметрична. Однако это легко сделать, если сказать, что картинка симметрична относительно серединного перпендикуляра к общей стороне пятиугольника и треугольника (а не просто отрезка из условия). Тот факт, что правильный n-угольник симметричен относительно любого серединного перпендикуляра к стороне, уже легко доказывается. Например, можно проверять это последовательно: концы стороны – по определению серединного перпендикуляра. Следующая пара вершин получается поворотом на один и тот же угол и откладыванием отрезка одной и той же длины, и так далее. Комментарий. В решении мы воспользовались формулой для угла правильного n-угольника: 180° (𝑛−2) . 𝑛

Задание № 3 Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже.

Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты:

a) Ответ: f.

b)

c)

d)

Точное совпадение ответа — 1 балл 2

e)

f)

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Решение. Для решения достаточно заметить квадрат 4×4, образованный 15 бирюзовыми и одной красной клетками (см. рисунок):

Квадрат состоит из 16 клеток, т.е. нельзя покрыть их все прямоугольниками 1×3 (т. к. 16 не делится на 3). Значит, часть прямоугольников должна «вылазить» за границу квадрата. Единственное место, где можно это сделать — через красную клетку. Так как 16 даёт остаток 1 при делении 3, то и убрать надо ровно одну клетку. Из всех вариантов тогда подходит только f. Задание № 4 По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 200 яблонях, три — на 21. А на скольких яблонях растёт пять яблок? Ответ: 202. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Главное наблюдение в этой задаче — яблони с чётным (2, 4) и нечётным (1, 3, 5) количествами яблок чередуются. После него задача решается быстро: так как они чередуются, то яблонь с 2 и 4 яблоками столько же, сколько и с 1, 3 и 5. Значит, яблонь с 1, 3 и 5 яблоками рóвно половина: 846/2 = 423. Нам дано, что из этих 423 яблонь 200 и 21 — это яблони с 1 и 3 яблоками. Значит, оставшиеся 423 − 200 − 21 = 202 — c 5 яблоками. Задание № 5 Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство a2 + 6a = 2b2 + 11b − 15. Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Ответ: –6 и 0,5. 3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Самое главное в этой задаче — понять, что значит фраза «если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным». Для этого можно спроситьсебя — а как вообще может так быть, что мы a изменили, а равенство осталось верным? Если вместо a подставить a′, то равенство превратится в (a′)2 + 6a′ = 2b2 + 11b − 15, а правая часть этого выражения, как мы знаем, равна a2 + 6a. Значит, если мы изменили a на a′, а равенство осталось верным, то должно выполняться равенство a2 + 6a = (a′)2 + 6a′. Тогда (a − a′)(a + a′ + 6) = 0. Поскольку a ≠ a′ (мы же меняем число a), то a + a′ = −6. Значит, для любого числа a в качестве a′ можно взять −6 − a. Следовательно, a, которое подходит, должно удовлетворять условию a = −6 − a (иначе можно поменять a на −6 − a и значение левой части не изменится), т. е. a = −3. Осталось ответить на вопрос задачи. Если a = −3, то 2b2+11b−15 = (−3)2+6·(−3), т. е. 2b2 + 11b − 6 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем ответы −6 и ½. Комментарий. Можно было пойти другим путём. Равенство a2 + 6a = (a′)2 + 6a′ можно переписать в виде f(a) = f(a′), где f(x) = x2 + 6x. Тут написано, что значение C = f(a) функция f(x) принимает хотя бы два раза. Функция f(x) — это квадратный трёхчлен. Она почти все свои значения принимает ровно два раза. Кроме −6 значения в вершине параболы y = f(x), т.е. как раз при a = 2∙1 = −3. Задание № 6 Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 3 : 5 : 1 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 90. Найдите площадь синей трапеции, отмеченной знаком «?».

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Ответ: 306/11. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Обозначим площадь белого треугольника через S, а площадь синей трапеции через t. Тогда из подобия треугольников, получаемых при пересечении угла параллельными прямыми, имеем:

Из этих двух равенств необходимо найти t. Приведём один из возможных способов,как это можно сделать. Вычтем из обоих равенств по 1:

и поделим второе на первое:

т.е.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г. Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Задание № 7 Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся натуральные числа y и z, что 2x + 3y + 6z = 1200? Ответ: 198. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Заметим, что все слагаемые, кроме 2x, делятся на 3. Тогда и 2x, а с ним и x, делится на 3. Аналогично, y делится на 2. Значит, x = 3x′, y = 2y′. Подставим: 6x′ + 6y′ + 6z = 1200, откуда x′ + y′ + z = 200. В таком виде очевидно, что x′ (а с ним и x = 3x′) принимает все значения от 1 до 198, т.е. 198 значений. Задание № 8 8100 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», . . . , «Восемь тысяч сто!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа (т. е. 1 = 12, 4 = 22, . . .), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 520. Сколько школьников осталось в этот момент? Ответ: 506. Точное совпадение ответа — 1 балл Решение. Не побоимся, введём обозначение n2 = 8100 и посчитаем количество оставшихся школьников, используя переменную n. После первого раза их, очевидно, будет n2 – n. После второго — ещё на n – 1 меньше (ведь (n – 1)2 = n2 – 2n + 1 ⩽ n2 – n < n2, т.е. последний школьник, номер которого — квадрат натурального числа, это школьник с номером (n – 1)2). Значит, n2 – n (n – 1) = n2 – 2n + 1 = (n – 1)2. Итак, за два действия из n2 получается (n – 1)2. Значит, процесс раз в два шага попадает в квадрат натурального числа. В какой-то момент количество школьников будет 232 = 529, а в следующий раз — 529 − 23 = 506, это и есть ответ.