Закон всемирного тяготения и законы Кеплера
⚡ Физика · 10 класс
Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном в 1687 году, утверждает: любые два тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F = G*(m1*m2)/r^2
Здесь G ≈ 6,67*10^-11 Н*м^2/кг^2 — гравитационная постоянная, r — расстояние между центрами тел. Закон строго справедлив для материальных точек, а также для однородных шаров, у которых всю массу можно мысленно сосредоточить в центре.
Особенности гравитации
Гравитационное притяжение существует между любыми телами, обладающими массой, но из-за малости постоянной G оно заметно лишь при очень больших массах — планет, звёзд, спутников. Между двумя людьми сила притяжения ничтожно мала, а между Землёй и Луной она удерживает Луну на орбите. Гравитация всегда является силой притяжения и никогда не отталкивает тела.
Сила тяжести и ускорение свободного падения
Сила тяжести у поверхности планеты — это частный случай силы тяготения. Приравнивая m*g к силе притяжения тела к планете массой M и радиусом R, получаем выражение для ускорения свободного падения:
g = G*M/R^2
Отсюда видно, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела, но зависит от массы и радиуса планеты. На вершине высокой горы или на орбите g немного меньше, потому что увеличивается расстояние до центра Земли.
Первая космическая скорость
Чтобы тело двигалось по круговой орбите у самой поверхности планеты, сила тяготения должна играть роль центростремительной силы. Приравнивая их, получаем первую космическую скорость:
v1 = sqrt(G*M/R) = sqrt(g*R) ≈ 7,9 км/с
При такой скорости тело становится искусственным спутником Земли. Вторая космическая скорость, около 11,2 км/с, позволяет телу преодолеть притяжение планеты и улететь в космос.
Законы Кеплера
| Закон | Формулировка |
|---|---|
| Первый | Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце |
| Второй | Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади |
| Третий | Квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей орбит: T1^2/T2^2 = a1^3/a2^3 |
Из второго закона следует, что вблизи Солнца планета движется быстрее, а вдали — медленнее. Третий закон позволяет, зная период обращения, вычислять размеры орбит планет.
Разобранный пример
Оценим ускорение свободного падения для планеты с массой M = 6*10^24 кг и радиусом R = 6,4*10^6 м (параметры Земли):
g = 6,67*10^-11 * 6*10^24 / (6,4*10^6)^2 ≈ 9,8 м/с^2
Полученное значение совпадает с известным ускорением свободного падения у поверхности Земли, что подтверждает закон тяготения.
Частые ошибки. В законе тяготения берут расстояние между центрами тел, а не между их поверхностями. Гравитационная постояннаяGи ускорение свободного паденияg— это совершенно разные величины с разными единицами измерения, их нельзя путать.
Кратко о главном
- Сила тяготения:
F = G*m1*m2/r^2, всегда притягивающая. - Ускорение свободного падения:
g = G*M/R^2. - Первая космическая скорость:
v1 = sqrt(g*R) ≈ 7,9 км/с. - Движение планет описывают три закона Кеплера.