Геометрия

Основные понятия геометрии

Точка, прямая, плоскость, отрезок, луч. Аксиомы планиметрии.

Углы

Виды углов, смежные и вертикальные углы, биссектриса угла.

Треугольники

Классификация треугольников. Сумма углов треугольника = 180°.

Признаки равенства треугольников

Три признака равенства треугольников (ССС, СУС, УСУ). Следствия.

Равнобедренный треугольник

Свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Параллельные прямые

Признаки параллельности. Углы при параллельных прямых и секущей.

Четырёхугольники

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Свойства.

Окружность

Окружность и круг, хорда, диаметр, касательная. Взаимное расположение прямой и окружности.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: почему она равна 180 градусам и как её применять в задачах.

Внешний угол треугольника

Что такое внешний угол треугольника и теорема о его равенстве сумме двух не смежных внутренних углов.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Три замечательные линии треугольника: их определения, свойства и отличия друг от друга.

Прямоугольный треугольник

Элементы прямоугольного треугольника, его свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Неравенство треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника и условие существования треугольника по трём сторонам.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, перпендикуляр и наклонная, свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка.

Задачи на построение циркулем и линейкой

Основные построения: отрезок, угол, биссектриса, серединный перпендикуляр и перпендикуляр к прямой.

Смежные углы

Что такое смежные углы, их главное свойство и как находить второй угол, если известен первый.

Вертикальные углы

Определение вертикальных углов, доказательство их равенства и применение в задачах на пересечение прямых.

Признаки параллельности прямых

Три признака параллельности двух прямых, пересечённых секущей: по накрест лежащим, односторонним и соответственным углам.

Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых и её следствия о единственности прямой и о пересечении параллельных.

Свойства равнобедренного треугольника

Теоремы о равенстве углов при основании и о биссектрисе, проведённой к основанию равнобедренного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четыре признака равенства прямоугольных треугольников, в том числе по гипотенузе и катету.

Расстояние между параллельными прямыми

Что считают расстоянием между двумя параллельными прямыми и почему оно одинаково во всех точках.

Касательная к окружности

Определение касательной, её свойство перпендикулярности радиусу и признак касательной.

Измерение отрезков и углов

Как измеряют длины отрезков и величины углов, свойства измерений и единицы измерения.

Ломаная и многоугольник

Понятия ломаной и многоугольника, их элементы, периметр и выпуклые многоугольники.

Площади фигур

Формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба.

Теорема Пифагора

Формулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников. Коэффициент подобия. Отношение площадей.

Синус, косинус и тангенс угла

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.

Вписанные и описанные окружности

Вписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.

Средняя линия треугольника и трапеции

Теорема о средней линии, применение в задачах.

Векторы

Понятие вектора, длина и направление. Сложение и вычитание векторов.

Метод координат

Координаты вектора, расстояние между точками, деление отрезка.

Ромб и его свойства

Ромб как параллелограмм с равными сторонами: диагонали, признаки и формулы площади.

Прямоугольник и квадрат

Особые параллелограммы: свойства диагоналей прямоугольника и квадрата, их признаки и площадь.

Трапеция и её виды

Что такое трапеция, равнобедренная и прямоугольная трапеции, их свойства и площадь.

Теорема Фалеса

Как параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки и зачем это нужно.

Касательная к окружности

Касательная и её перпендикулярность радиусу, признак касательной и равные отрезки касательных.

Центральные и вписанные углы

Центральный и вписанный углы, теорема о вписанном угле и угол, опирающийся на диаметр.

Неравенство треугольника

Почему сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей и как это применять в задачах.

Параллелограмм и его свойства

Определение параллелограмма и его основные свойства: равенство сторон, углов и точка пересечения диагоналей.

Признаки параллелограмма

Три признака, по которым четырёхугольник является параллелограммом, и их применение в доказательствах.

Площадь параллелограмма

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту и через две стороны с углом между ними.

Площадь треугольника

Формулы площади треугольника: через основание и высоту, через две стороны и угол, формула Герона.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через полусумму оснований и высоту.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их использование для нахождения неизвестных сторон.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, и пропорциональные отрезки: среднее геометрическое в прямоугольном треугольнике.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Четыре замечательные точки треугольника

Точки пересечения биссектрис, серединных перпендикуляров, высот и медиан треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение всех сторон и углов прямоугольного треугольника по двум известным элементам.

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.

Длина окружности и площадь круга

Число π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.

Движения в геометрии

Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.

Преобразование подобия

Гомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.

Векторный метод

Применение векторов для доказательства геометрических утверждений.

Метод координат на плоскости

Координаты точки и вектора, формулы расстояния и середины отрезка, решение задач координатным способом.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения, его свойства и применение для нахождения угла между векторами.

Уравнение окружности

Вывод уравнения окружности через центр и радиус, распознавание окружности по уравнению.

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой и уравнение с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности.

Площадь треугольника через две стороны и синус угла

Формула площади через стороны и синус угла между ними, связь с формулами площади и высотой.

Вписанные и центральные углы

Теорема о вписанном угле, связь центрального и вписанного углов, углы, опирающиеся на диаметр.

Начальные сведения из стереометрии

Многогранники и тела вращения, формулы объёма призмы, цилиндра, конуса и шара.

Решение треугольников

Как найти все стороны и углы треугольника по трём данным элементам с помощью теорем синусов и косинусов.

Площадь многоугольника по координатам вершин

Формула площади треугольника и многоугольника, заданного координатами вершин на плоскости.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Как выразить любой вектор плоскости через два базисных вектора и зачем это нужно.

Угол между векторами

Вычисление угла между векторами через скалярное произведение и условие перпендикулярности.

Площадь сектора и сегмента круга

Как найти площадь кругового сектора и сегмента, а также длину дуги по центральному углу.

Вписанная и описанная окружности многоугольника

Радиусы окружностей, вписанных в правильный многоугольник и описанных около него.

Поворот и осевая симметрия как движения

Построение образов фигур при повороте вокруг точки и симметрии относительно прямой.

Гомотетия и центральное подобие

Преобразование гомотетии, его коэффициент и свойства, связь с подобием фигур.

Средняя линия треугольника и трапеции

Свойства средней линии треугольника и трапеции, их применение к вычислению длин.

Объёмы шара, цилиндра и конуса (начальные сведения)

Первое знакомство с формулами объёма тел вращения в курсе стереометрии 9 класса.

Аксиомы стереометрии

Точка, прямая, плоскость в пространстве. Аксиомы взаимного расположения.

Параллельность в пространстве

Параллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.

Перпендикулярность

Перпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.

Многогранники

Призма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.

Тела вращения

Цилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.

Прямоугольные координаты в пространстве

Декартова система координат в пространстве, координаты точки и вектора, формулы длины, середины и расстояния.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между наклонной прямой и плоскостью через проекцию и способы его вычисления.

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикуляр и наклонная, понятие расстояния от точки до плоскости и до прямой в пространстве.

Призма и её свойства

Прямая и наклонная призма, элементы призмы, формулы площади боковой и полной поверхности.

Пирамида и её свойства

Виды пирамид, правильная пирамида, апофема, площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Сечения многогранников плоскостью

Построение сечений призмы и пирамиды секущей плоскостью методом следов и методом внутреннего проектирования.

Параллельность прямой и плоскости

Признак и свойства параллельности прямой и плоскости в пространстве с разбором доказательства.

Параллельность двух плоскостей

Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей в стереометрии.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая и обратная теорема о трёх перпендикулярах и её применение к решению задач.

Двугранный угол

Понятие двугранного угла, его линейный угол и способы измерения в пространстве.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и нахождение угла между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость и её применение.

Параллелепипед и его свойства

Прямой, наклонный и прямоугольный параллелепипед: свойства граней, рёбер и диагоналей.

Правильные многогранники

Пять правильных многогранников (тела Платона): их строение, свойства и формула Эйлера.

Скрещивающиеся прямые

Определение скрещивающихся прямых, признак и отличие от пересекающихся и параллельных.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия в пространстве и симметрия многогранников.

Координаты в пространстве

Прямоугольная система координат, расстояния и углы в координатах.

Векторы в пространстве

Координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.

Правильные многогранники

Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Сечения многогранников

Построение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.

Объём призмы и параллелепипеда

Как вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.

Объём пирамиды и усечённой пирамиды

Формула одной трети произведения площади основания на высоту и объём усечённой пирамиды для задач стереометрии.

Цилиндр: площадь поверхности и объём

Прямой круговой цилиндр, его осевое сечение, боковая и полная поверхность, формула объёма в задачах ЕГЭ.

Конус и усечённый конус

Образующая, осевое сечение, развёртка, площадь поверхности и объём конуса и усечённого конуса.

Шар и сфера: площадь поверхности и объём

Сфера как поверхность, шар как тело, формулы площади сферы и объёма шара, сечения и касательная плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла через проекцию наклонной, теорема о трёх перпендикулярах и приёмы вычисления в координатах.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла, угол между плоскостями и способы его нахождения, в том числе через нормали.

Касательная плоскость к сфере

Признак касательной плоскости к сфере, её свойства и решение задач на расстояние от центра до плоскости.

Сфера, вписанная в многогранник

Условие существования вписанной сферы и формула её радиуса через объём и площадь поверхности многогранника.

Сфера, описанная около многогранника

Положение центра описанной сферы, его построение для призмы и пирамиды и вычисление радиуса.

Комбинация цилиндра и сферы

Сфера, вписанная в цилиндр и описанная около него: связь радиусов, высоты и нахождение объёмов.

Комбинация конуса и сферы

Вписанная и описанная сферы для конуса: осевое сечение, формулы радиусов и отношение объёмов.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Понятие общего перпендикуляра и методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади проекции плоской фигуры и её применение к нахождению площадей сечений.

Теорема Эйлера для многогранников

Соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника и его применение.

Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Формулы боковой и полной поверхности прямой и наклонной призмы, разбор типовых задач.

Координатный метод в задачах стереометрии

Применение прямоугольных координат для вычисления расстояний, углов и объёмов пространственных тел.