Прямоугольные координаты в пространстве
📏 Геометрия · 10 класс
Система координат в пространстве
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве задаётся тремя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, которые пересекаются в одной точке O, называемой началом координат. Оси обозначают Ox, Oy и Oz. На каждой оси выбран единичный отрезок.
Каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка чисел — её координаты: M(x; y; z). Первое число называют абсциссой, второе — ординатой, третье — аппликатой.
Координаты вектора
Координатами вектора называют его проекции на оси. Если вектор задан точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), то его координаты находят как разности соответствующих координат конца и начала.
AB = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1)
| Величина | Формула |
|---|---|
| Длина вектора | |a| = √(x² + y² + z²) |
| Сумма векторов | (x1+x2; y1+y2; z1+z2) |
| Расстояние между точками | √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²) |
| Середина отрезка | ((x1+x2)/2; (y1+y2)/2; (z1+z2)/2) |
Скалярное произведение в координатах
Скалярное произведение двух векторов через координаты вычисляют по формуле:
a·b = x1·x2 + y1·y2 + z1·z2
С его помощью находят косинус угла между векторами:
cos φ = (a·b) / (|a|·|b|)
Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Этот признак позволяет проверять перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве чисто вычислительным способом, без построения чертежа.
Уравнение плоскости
Положение плоскости в координатах задают линейным уравнением вида ax + by + cz + d = 0. Тройка чисел, стоящих перед переменными, образует так называемый вектор нормали — вектор, перпендикулярный плоскости. Зная нормали двух плоскостей, можно находить угол между плоскостями, а зная нормаль плоскости и направляющий вектор прямой — угол между прямой и плоскостью. Координатный метод тем и удобен, что все эти разнородные задачи сводятся к единым формулам со скалярным произведением.
Разобранный пример
Даны точки A(1; 2; 2) и B(3; 4; 4). Найдём длину отрезка.
AB = (3−1; 4−2; 4−2) = (2; 2; 2)
|AB| = √(2² + 2² + 2²) = √12 = 2√3
Частые ошибки. При вычислении координат вектора важно вычитать координаты начала из координат конца, а не наоборот. Под корнем при поиске длины складывают именно квадраты координат, а не сами координаты.
Метод координат позволяет переводить геометрические задачи в алгебраические: вместо построений достаточно подставить числа в формулы. Это особенно удобно при поиске углов и расстояний в пространстве.
Кратко о главном
- Система координат задаётся тремя взаимно перпендикулярными осями.
- Точка имеет три координаты: абсциссу, ординату и аппликату.
- Координаты вектора — разности координат конца и начала.
- Длину, расстояние и середину находят по координатным формулам.
- Скалярное произведение даёт угол между векторами.