Правильные многогранники
📏 Геометрия · 10 класс
Правильные многогранники
Правильным называется выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине которого сходится одинаковое число рёбер. Удивительный факт стереометрии состоит в том, что таких многогранников существует ровно пять. Их называют телами Платона, потому что древнегреческий философ Платон связывал их со стихиями.
Пять правильных многогранников
| Название | Грань | Граней | Вершин | Рёбер |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | треугольник | 4 | 4 | 6 |
| Куб (гексаэдр) | квадрат | 6 | 8 | 12 |
| Октаэдр | треугольник | 8 | 6 | 12 |
| Додекаэдр | пятиугольник | 12 | 20 | 30 |
| Икосаэдр | треугольник | 20 | 12 | 30 |
Обратите внимание: у тетраэдра число вершин и граней совпадает, а куб и октаэдр, как и додекаэдр с икосаэдром, обмениваются числами вершин и граней. Такие пары называют двойственными. Двойственность означает, что если соединить центры соседних граней одного тела, получится другое тело пары: центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — снова куб. Тетраэдр двойствен самому себе.
Почему их ровно пять
В каждой вершине выпуклого многогранника должно сходиться не менее трёх граней, а сумма плоских углов при вершине обязана быть меньше 360° — иначе вершина «развернётся» в плоскость или вывернется. Перебор правильных многоугольников показывает, что этим условиям удовлетворяют лишь пять комбинаций: треугольники по три, четыре или пять в вершине, квадраты по три и пятиугольники по три. Поэтому правильных многогранников ровно пять, и больше быть не может.
Формула Эйлера
Для любого выпуклого многогранника справедливо замечательное соотношение между числом вершин В, рёбер Р и граней Г:
В − Р + Г = 2
Проверим его. Для куба: 8 − 12 + 6 = 2. Для октаэдра: 6 − 12 + 8 = 2. Для додекаэдра: 20 − 30 + 12 = 2. Соотношение выполняется во всех случаях и помогает находить одно из чисел, если известны два других.
Формула Эйлера верна не только для правильных, но и для любых выпуклых многогранников — призм, пирамид, усечённых тел. Например, для пятиугольной призмы вершин 10, рёбер 15, граней 7, и снова 10 − 15 + 7 = 2. Это делает формулу удобным средством самопроверки: если при подсчёте элементов многогранника соотношение не выполнилось, значит, где-то допущена ошибка.
Частая ошибка. Не всякий многогранник с правильными гранями является правильным. Например, можно сложить тело из правильных треугольников, в вершинах которого сходится разное их число, — оно правильным не будет. Важно, чтобы во всех вершинах сходилось одинаковое число граней.
Кратко о главном
- Правильных многогранников ровно пять.
- Их грани — равные правильные многоугольники.
- В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
- Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр двойственны.
- Для всех выполняется формула Эйлера
В − Р + Г = 2.