Взаимное расположение двух плоскостей
📏 Геометрия · 10 класс
Взаимное расположение двух плоскостей
Взаимное расположение двух плоскостей — это описание того, как две плоскости расположены относительно друг друга в пространстве. Для двух различных плоскостей возможны ровно два случая: они либо пересекаются, либо параллельны. Третьего варианта нет, и это существенно упрощает анализ по сравнению с прямыми.
Два случая
- Пересекающиеся плоскости — имеют общую прямую, по которой и пересекаются. Эта прямая называется линией пересечения.
- Параллельные плоскости — не имеют ни одной общей точки.
Основанием служит аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку. Поэтому если у плоскостей есть хотя бы одна общая точка, то общих точек сразу бесконечно много — целая прямая. Не бывает так, чтобы две различные плоскости имели ровно одну или две общие точки: либо ни одной, либо целую прямую.
| Случай | Общие точки | Обозначение |
|---|---|---|
| Пересекаются | Целая прямая | α ∩ β = c |
| Параллельны | Нет | α ∥ β |
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Ключевое слово — пересекающиеся. Если взять только одну пару параллельных прямых, вывода о параллельности плоскостей сделать нельзя: через одну прямую можно провести бесконечно много плоскостей, среди которых найдутся и пересекающие вторую.
Свойства параллельных плоскостей
- Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.
- Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.
- Через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.
Разбор примера
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 покажем, что грани ABCD и A_1B_1C_1D_1 параллельны:
В плоскости ABCD: прямые AB и AD пересекаются в точке A.
В плоскости A_1B_1C_1D_1: AB ∥ A_1B_1 и AD ∥ A_1D_1.
Две пересекающиеся прямые параллельны двум прямым второй грани.
Вывод: ABCD ∥ A_1B_1C_1D_1.Заметим, что боковые рёбра AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 — это отрезки параллельных прямых между параллельными гранями, и по свойству они равны между собой.
Частые ошибки. Распространённая ошибка — применять признак к одной паре прямых. Нужны именно две пересекающиеся прямые. Также нельзя путать линию пересечения плоскостей с произвольной прямой, лежащей в одной из них.
Кратко о главном
- Две плоскости пересекаются по прямой или параллельны.
- Если есть общая точка, есть и целая общая прямая.
- Признак параллельности требует двух пересекающихся прямых.
- Между параллельными плоскостями отрезки параллельных прямых равны.