Тетраэдр и его свойства

Тетраэдр и его свойства

Тетраэдр — это многогранник, составленный из четырёх треугольников. Он имеет 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины и является простейшим из всех многогранников: с меньшим числом граней замкнутого выпуклого тела не существует. Любую из четырёх граней можно считать основанием, а противоположную вершину — вершиной тетраэдра.

Элементы тетраэдра

• Грани — четыре треугольника.
• Рёбра — шесть отрезков; рёбра, не имеющие общих вершин, называют противоположными.
• Вершины — четыре точки, в каждой из которых сходятся три ребра.

Медианы тетраэдра

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (с центроидом этой грани). У тетраэдра четыре медианы — по одной из каждой вершины.

Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра — и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины.

Правильный тетраэдр

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равные равносторонние треугольники. У него все шесть рёбер равны, а сам он является одним из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Не следует путать правильный тетраэдр с правильной треугольной пирамидой: у последней основание равностороннее, но боковые рёбра могут отличаться от стороны основания.

Разбор примера

Пусть M — точка пересечения медиан тетраэдра DABC, а медиана из вершины D равна 12. Найдём, на какие части точка M делит эту медиану:

Отношение от вершины: DM : (остаток) = 3 : 1.
Вся медиана = 12, делим на 3 + 1 = 4 части.
DM = 12·(3/4) = 9, остаток = 12·(1/4) = 3.

Таким образом, точка пересечения медиан отстоит от вершины на 9 и от грани на 3. Это стереометрический аналог свойства точки пересечения медиан треугольника, где деление шло в отношении 2 : 1.

Тетраэдр и пирамида

Тетраэдр — это треугольная пирамида, то есть пирамида, в основании которой лежит треугольник. У него есть высота, опущенная из любой выбранной вершины на плоскость противоположной грани, и есть боковые грани. Особенность тетраэдра в том, что у него нет «выделенного» основания: каждая из четырёх граней может играть эту роль. Поэтому у тетраэдра четыре высоты, четыре медианы и нет деления вершин на «вершину» и «основание», обязательного для других пирамид. Из-за этой симметрии тетраэдр часто выбирают как простейшую модель для доказательства общих свойств многогранников.

Частые ошибки. Медиана тетраэдра идёт в центроид грани (точку пересечения медиан треугольника), а не в середину ребра. Отношение деления 3 : 1 отсчитывается от вершины, а не от грани.

Кратко о главном

• Тетраэдр имеет 4 грани, 6 рёбер, 4 вершины.
• Любую грань можно принять за основание.
• Четыре медианы пересекаются в одной точке и делятся ею 3 : 1 от вершины.
• У правильного тетраэдра все грани — равные равносторонние треугольники.