Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, поэтому угол между ними нельзя измерить непосредственно — у них нет общей вершины. Чтобы всё-таки придать смысл понятию угла, вводят особое определение через параллельный перенос одной из прямых.

Определение

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Через любую точку пространства проводят две прямые, параллельные исходным скрещивающимся прямым. Эти две новые прямые уже пересекаются, и угол между ними принимают за искомый.

a, b — скрещиваются; a₁ ∥ a, b₁ ∥ b, a₁ ∩ b₁ = O ⇒ угол между a и b равен ∠(a₁, b₁)

Можно доказать, что полученный угол не зависит от выбора точки O: при переносе точки лучи переходят в параллельные, а угол между параллельными лучами не меняется. Поэтому определение корректно. По соглашению из двух смежных углов берут наименьший, поэтому угол между прямыми лежит в пределах от 0° до 90°.

Как находить угол на практике

1. Через удобную точку (часто на одной из прямых или в вершине многогранника) провести прямую, параллельную второй прямой.
2. Получить плоский угол между двумя пересекающимися прямыми.
3. Найти этот угол из подходящего треугольника, например по теореме косинусов.

Разбор примера

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдём угол между прямыми AB и B₁C₁. Так как B₁C₁ ∥ BC, угол между AB и B₁C₁ равен углу между AB и BC. Прямые AB и BC пересекаются в вершине B под прямым углом, поэтому искомый угол равен 90°. Значит, прямые AB и B₁C₁ перпендикулярны, хотя и скрещиваются. Этот приём — заменить одну прямую на параллельную ей, лежащую рядом с другой, — основной при вычислении таких углов.

Рассмотрим в том же кубе более сложный случай — угол между диагональю грани AB₁ и ребром BC. Так как BC ∥ B₁C₁, заменим BC на B₁C₁: обе прямые AB₁ и B₁C₁ проходят через вершину B₁, образуя плоский угол. В равностороннем треугольнике AB₁C₁ (его стороны — диагонали трёх равных граней) все углы равны 60°, поэтому искомый угол равен 60°. Такой перевод пространственной задачи в плоский треугольник и есть стандартный путь решения.

Частая ошибка. Угол между скрещивающимися прямыми всегда не превышает 90°. Если в вычислениях получился тупой угол, нужно взять смежный к нему острый. Также нельзя путать угол между прямыми с углом между векторами, направления которых могут давать тупой результат.

Кратко о главном

• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Угол определяется через параллельный перенос одной из прямых.
• Результат не зависит от выбора точки.
• Угол берут от 0° до 90°.
• Удобно заменять прямую параллельной ей в нужной точке.