Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямой и плоскости описывает, сколько общих точек имеют данная прямая и данная плоскость. В пространстве возможны ровно три случая, и они различаются именно числом общих точек. Этот вопрос — один из базовых в стереометрии: на нём строятся понятия параллельности, пересечения и перпендикулярности прямой и плоскости.

Три случая

• Прямая лежит в плоскости — все точки прямой принадлежат плоскости (общих точек бесконечно много).
• Прямая пересекает плоскость — у них ровно одна общая точка.
• Прямая параллельна плоскости — общих точек нет.

Эти случаи опираются на аксиому: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Поэтому если общих точек хотя бы две — прямая целиком в плоскости. Если же общая точка ровно одна, прямая «протыкает» плоскость и пересекает её. А если общих точек нет вовсе — прямая параллельна плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Чтобы установить параллельность, не обязательно проверять отсутствие всех общих точек напрямую — это невозможно сделать перебором. Используют признак:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Полезно знать и обратное свойство: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Эти два факта обычно работают в паре при решении задач.

Разбор примера

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 определим, как ребро A_1B_1 расположено относительно плоскости ABCD:

1) Прямая A_1B_1 параллельна прямой AB.
2) Прямая AB лежит в плоскости ABCD.
3) Сама A_1B_1 в плоскости ABCD не лежит.
Вывод: A_1B_1 ∥ ABCD (по признаку параллельности).

А вот ребро AA_1 пересекает плоскость ABCD в точке A, поэтому здесь случай пересечения. Диагональ AC же целиком лежит в плоскости ABCD — это первый случай.

Частые ошибки. Нельзя применять признак, если прямая, которой мы проводим параллель, не лежит в плоскости. Также важно проверить, что сама исходная прямая не лежит в плоскости — иначе говорить о параллельности нельзя, ведь прямая, лежащая в плоскости, ей не параллельна.

Кратко о главном

• Прямая и плоскость имеют бесконечно много, одну или ноль общих точек.
• Если общих точек две и более — прямая лежит в плоскости.
• Одна общая точка — прямая пересекает плоскость.
• Нет общих точек — прямая параллельна плоскости.
• Признак параллельности: прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и сама в ней не лежит.