Параллельность прямой и плоскости
📏 Геометрия · 10 класс
Что такое параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Это одно из трёх возможных взаимных расположений прямой и плоскости в пространстве, и именно оно лежит в основе многих построений стереометрии. Понимание параллельности прямой и плоскости необходимо для построения сечений, доказательства параллельности плоскостей и решения задач на расстояния.
Три случая взаимного расположения
В пространстве прямая и плоскость могут располагаться по-разному в зависимости от числа их общих точек. Этих случаев ровно три, и других быть не может.
| Случай | Общие точки | Обозначение |
|---|---|---|
| Прямая лежит в плоскости | Бесконечно много | a ⊂ α |
| Прямая пересекает плоскость | Одна точка | a ∩ α = M |
| Прямая параллельна плоскости | Нет | a ∥ α |
Из таблицы видно, что параллельность — это случай полного отсутствия общих точек, когда при этом прямая не принадлежит плоскости. Именно сочетание двух условий — нет общих точек и прямая вне плоскости — задаёт параллельность.
Признак параллельности прямой и плоскости
Проверять отсутствие общих точек напрямую неудобно, поэтому пользуются признаком.
Признак. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Схема рассуждения для прямой a и плоскости α записывается так:
a ∥ b, b ⊂ α, a ⊄ α ⇒ a ∥ α
Доказательство ведут методом от противного. Предположим, что прямая a не параллельна плоскости. Тогда, не лежа в плоскости, она её пересекает в некоторой точке. Через параллельные прямые a и b проходит единственная плоскость, и эта плоскость пересекает α по прямой b. Точка пересечения a с плоскостью α оказалась бы и на прямой b, но тогда a и b имели бы общую точку, что противоречит их параллельности. Полученное противоречие доказывает признак.
Свойства параллельной прямой и плоскости
Из признака вытекают важные свойства, которые часто применяют при построении сечений.
- Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
- Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то и другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Разбор примера
В тетраэдре с вершинами A, B, C, D точки M и N — середины рёбер AB и AC. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC и потому параллелен стороне BC. Сторона BC лежит в плоскости основания, а прямая MN ей параллельна и в этой плоскости не лежит. Значит, по признаку MN ∥ плоскости основания. Этот приём — найти в плоскости прямую, параллельную данной, — основной способ доказательства параллельности.
Частая ошибка. Нельзя забывать условие, что сама прямая не лежит в плоскости. Если прямая лежит в плоскости, она ей не параллельна, как бы ни была расположена. Также параллельность одной прямой не переносится автоматически: нужно явно указать прямую в плоскости, которой параллельна данная.
Кратко о главном
- Прямая и плоскость параллельны, если не имеют общих точек.
- Возможны три случая: прямая в плоскости, пересекает её или параллельна.
- Признак: прямая параллельна прямой в плоскости и не лежит в плоскости — значит, параллельна плоскости.
- Линия пересечения секущей плоскости параллельна исходной прямой.
- Чтобы доказать параллельность, ищут в плоскости прямую, параллельную данной.