Симметрия в пространстве
📏 Геометрия · 10 класс
Симметрия в пространстве
Симметрия — это свойство фигуры совмещаться с самой собой при некотором преобразовании пространства. В стереометрии рассматривают три основных вида симметрии: центральную, осевую и зеркальную. Они помогают описывать строение многогранников и тел вращения, а также упрощают вычисления, ведь симметричные элементы фигуры равны.
Центральная симметрия
Точки A и A₁ называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка AA₁. Точка O называется центром симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно O некоторой точке той же фигуры. Например, центром симметрии параллелепипеда служит точка пересечения его диагоналей.
Осевая симметрия
Точки A и A₁ симметричны относительно прямой l (оси), если эта прямая проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна ему. Прямая l называется осью симметрии фигуры, если фигура переходит в себя при повороте вокруг этой прямой на 180°.
Зеркальная симметрия
Точки A и A₁ симметричны относительно плоскости α, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна ему. Плоскость α называется плоскостью симметрии фигуры, если при отражении в ней фигура совмещается сама с собой. Этот вид симметрии соответствует зеркальному отражению.
| Вид симметрии | Элемент симметрии | Условие для точек |
|---|---|---|
| Центральная | центр (точка) | центр — середина отрезка |
| Осевая | ось (прямая) | ось — серединный перпендикуляр |
| Зеркальная | плоскость | плоскость — серединная перпендикулярная |
Разбор примера
Куб обладает богатой симметрией. Его центр — точка пересечения диагоналей — является центром симметрии: любая вершина переходит в противоположную. У куба есть несколько осей симметрии: прямые, проходящие через центры противоположных граней, и прямые через середины противоположных рёбер. Кроме того, у куба девять плоскостей симметрии. Такое обилие элементов симметрии и делает куб столь «правильной» фигурой.
Сравним с менее симметричными телами. У прямоугольного параллелепипеда с различными измерениями центр симметрии тоже есть, но плоскостей симметрии всего три — по числу пар противоположных граней, а осей симметрии меньше, чем у куба. У правильной четырёхугольной пирамиды центра симметрии нет вовсе, зато есть ось симметрии, проходящая через вершину и центр основания, и плоскости симметрии. Этот пример показывает, что разные виды симметрии независимы и присутствуют у фигур в разном наборе.
Частая ошибка. Ось симметрии и плоскость симметрии — разные элементы, их нельзя смешивать. Не всякая фигура, имеющая центр симметрии, обладает осью или плоскостью симметрии, и наоборот; каждый вид симметрии проверяют отдельно.
Кратко о главном
- В пространстве рассматривают центральную, осевую и зеркальную симметрию.
- Им соответствуют центр, ось и плоскость симметрии.
- Симметричные точки расположены на равных расстояниях от элемента симметрии.
- Элемент симметрии всегда проходит через середину отрезка между симметричными точками.
- Правильные многогранники обладают сразу несколькими видами симметрии.