Параллелепипед и его свойства
📏 Геометрия · 10 класс
Параллелепипед
Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм. У него шесть граней, и все они являются параллелограммами. Это один из важнейших многогранников курса: к нему сводятся многие задачи на объём, расстояния и углы, а прямоугольный параллелепипед моделирует комнаты, коробки и кирпичи.
Элементы параллелепипеда
- Грани — шесть параллелограммов; противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Рёбра — двенадцать отрезков, образующих три четвёрки параллельных и равных между собой.
- Вершины — восемь точек.
- Диагонали — четыре отрезка, соединяющих противоположные вершины параллелепипеда.
Любые две противоположные грани можно считать основаниями, тогда оставшиеся четыре грани будут боковыми. Это показывает, что у параллелепипеда нет выделенного основания — в этом его удобство.
Виды параллелепипеда
| Вид | Особенность |
|---|---|
| Наклонный | боковые рёбра не перпендикулярны основанию |
| Прямой | боковые рёбра перпендикулярны основанию |
| Прямоугольный | прямой, основание — прямоугольник |
| Куб | прямоугольный с равными рёбрами |
Свойства параллелепипеда
- Противоположные грани параллельны и равны.
- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эта точка — центр симметрии параллелепипеда.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c диагональ d находится по формуле, обобщающей теорему Пифагора на пространство:
d² = a² + b² + c²
Разбор примера
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны a = 3, b = 4, c = 12. Тогда длина диагонали равна:
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Эту формулу удобно выводить в два шага: сначала по теореме Пифагора находят диагональ основания √(a² + b²), а затем рассматривают прямоугольный треугольник, где катеты — диагональ основания и боковое ребро c. Гипотенуза этого треугольника и есть диагональ параллелепипеда.
Полезно помнить и про площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Она складывается из площадей трёх пар равных граней, поэтому S = 2(ab + bc + ac). Для нашего примера с измерениями 3, 4 и 12 получаем S = 2(12 + 48 + 36) = 192. Так одни и те же три измерения позволяют найти и диагональ, и площадь поверхности тела.
Частая ошибка. Формулу d² = a² + b² + c² применяют только к прямоугольному параллелепипеду. Для наклонного или просто прямого параллелепипеда с непрямоугольным основанием она неверна, и диагональ ищут другими способами.Кратко о главном
- Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом.
- Все шесть граней — параллелограммы; противоположные равны и параллельны.
- Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.
- Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
- Для прямоугольного параллелепипеда:
d² = a² + b² + c².