Построение сечений методом следов
📏 Геометрия · 10 класс
Построение сечений методом следов
Сечение многогранника — это многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Метод следов — один из основных способов построения сечений: он опирается на нахождение следа секущей плоскости на плоскости грани (чаще всего на плоскости основания).
Что такое след
Следом секущей плоскости на плоскости некоторой грани называется прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани. Зная след на плоскости основания, легко находить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами, продолжая стороны сечения до пересечения с этим следом. Именно поэтому метод и получил своё название.
Опорные правила
- Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то их можно соединить — получится отрезок сечения в этой грани.
- Секущая плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.
- Точки пересечения секущей плоскости с продолжениями рёбер помогают построить след.
Главное правило: соединять отрезком можно только те две точки, которые заведомо лежат в одной плоскости (в одной грани многогранника).
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Отметить заданные точки сечения |
| 2 | Построить след на плоскости основания |
| 3 | Найти точки пересечения следа с рёбрами |
| 4 | Соединить точки в пределах каждой грани |
Разбор примера
Пусть в кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 заданы три точки сечения: M на AB, N на AD и K на AA_1. Строим сечение:
1) M и N лежат в грани ABCD — соединяем: отрезок MN.
2) M и K лежат в грани ABB_1A_1 — соединяем: отрезок MK.
3) N и K лежат в грани ADD_1A_1 — соединяем: отрезок NK.
Сечение — треугольник MNK.В более сложных случаях, когда заданные точки лежат в разных гранях и их нельзя соединить напрямую, сначала продлевают рёбра и стороны уже построенных отрезков, находят след секущей плоскости на плоскости основания, а затем по этому следу достраивают недостающие стороны сечения. Так шаг за шагом замыкается весь многоугольник сечения.
Какие многоугольники получаются
Форма сечения зависит от числа граней, которые пересекает плоскость. Сечение тетраэдра (четыре грани) может быть треугольником или четырёхугольником. Сечение куба или параллелепипеда (шесть граней) бывает треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником, но не семиугольником — у куба всего шесть граней, поэтому больше шести сторон у сечения быть не может. Это полезное правило для самопроверки: если в построении сечения куба получилось семь сторон, где-то допущена ошибка.
Частые ошибки. Нельзя соединять две точки, если они не лежат в одной грани, — линия «по воздуху» не является стороной сечения. Стороны сечения всегда лежат в гранях многогранника, а сечение должно быть замкнутым многоугольником.
Кратко о главном
- Сечение — многоугольник пересечения многогранника и плоскости.
- След — прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью грани.
- Соединять отрезком можно только точки одной грани.
- Параллельные грани пересекаются по параллельным отрезкам.