Скрещивающиеся прямые
📏 Геометрия · 10 класс
Скрещивающиеся прямые
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это расположение возможно только в пространстве: на плоскости любые две прямые либо пересекаются, либо параллельны. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и при этом не параллельны, поэтому они образуют отдельный, третий случай взаимного расположения прямых.
Три случая расположения двух прямых в пространстве
| Случай | Общая плоскость | Общие точки |
|---|---|---|
| Пересекающиеся | есть | одна |
| Параллельные | есть | нет |
| Скрещивающиеся | нет | нет |
Из таблицы видно, что отличить скрещивающиеся прямые от параллельных по числу общих точек нельзя — у обоих случаев общих точек нет. Решающим признаком служит наличие или отсутствие общей плоскости: параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости, а скрещивающиеся — никогда.
Признак скрещивающихся прямых
Признак. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
a ⊂ α, b ∩ α = M, M ∉ a ⇒ a и b скрещиваются
Доказывается признак от противного: если бы прямые лежали в одной плоскости, то прямая b целиком лежала бы в плоскости α и не могла бы пересекать её в единственной точке вне прямой a.
Разбор примера
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и CC₁ скрещиваются. Действительно, прямая AB лежит в плоскости основания, а прямая CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, которая не лежит на прямой AB. По признаку прямые скрещивающиеся. Для пары скрещивающихся прямых существует общий перпендикуляр — единственный отрезок, перпендикулярный обеим прямым одновременно; его длина равна расстоянию между этими прямыми.
Перечислим в том же кубе несколько пар прямых разных типов, чтобы закрепить различия. Рёбра AB и CD параллельны — лежат в одной грани и не пересекаются. Рёбра AB и BC пересекаются в вершине B. А рёбра AB и CC₁, как мы видели, скрещиваются. Этот разбор показывает, что по одному рисунку судить нельзя: нужно каждый раз проверять, существует ли плоскость, содержащая обе прямые.
Частая ошибка. Скрещивающиеся прямые часто путают с пересекающимися: на плоском чертеже куба прямые могут зрительно «пересекаться» в точке, которой на самом деле нет. Чтобы не ошибиться, нужно проверять, лежат ли прямые в одной плоскости, а не доверять виду рисунка.
Кратко о главном
- Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
- Они не пересекаются и не параллельны.
- Признак опирается на прямую в плоскости и прямую, пересекающую эту плоскость вне неё.
- Расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра.
- Главное отличие от параллельных — отсутствие общей плоскости.