Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах — один из ключевых инструментов стереометрии. Она связывает перпендикулярность наклонной к прямой, лежащей в плоскости, с перпендикулярностью проекции этой наклонной к той же прямой. Без неё трудно обойтись при нахождении расстояний и углов в пирамидах и призмах.

Вспомогательные понятия

Пусть из точки A, не лежащей в плоскости α, проведены отрезки к этой плоскости. Различают три объекта.

• Перпендикуляр — отрезок AO из точки на плоскость, перпендикулярный плоскости; точка O называется основанием перпендикуляра.
• Наклонная — любой другой отрезок AB из той же точки до плоскости; точка B — основание наклонной.
• Проекция наклонной — отрезок OB, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.

Прямая теорема

Прямая теорема. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Схема: пусть AO — перпендикуляр к плоскости α, AB — наклонная, OB — её проекция, а прямая a лежит в плоскости и проходит через точку B.

a ⊂ α, a ⊥ OB ⇒ a ⊥ AB

Идея доказательства: прямая a перпендикулярна проекции OB и перпендикулярна перпендикуляру AO (так как AO перпендикулярен всей плоскости). Значит, a перпендикулярна плоскости, проходящей через AO и OB, а потому перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, в том числе наклонной AB.

Обратная теорема

Обратная теорема. Прямая в плоскости, перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и её проекции.

a ⊂ α, a ⊥ AB ⇒ a ⊥ OB

Пример применения

В пирамиде с вершиной S и основанием — квадратом ABCD высота SO падает в центр квадрата. Чтобы найти расстояние от вершины S до стороны AB, опускают перпендикуляр OK на AB в плоскости основания. Здесь SO — перпендикуляр к основанию, SK — наклонная, OK — её проекция. Поскольку OK ⊥ AB, по теореме о трёх перпендикулярах SK ⊥ AB. Отрезок SK и есть искомое расстояние, он же апофема боковой грани.

Частая ошибка. Прямая обязана лежать в плоскости, к которой проведён перпендикуляр. Для прямой, выходящей из плоскости, теорема неприменима. Также важно не путать наклонную и её проекцию: они меняются ролями в прямой и обратной теоремах.

Кратко о главном

• Перпендикуляр, наклонная и её проекция — три связанных отрезка.
• Прямая теорема: перпендикулярность к проекции даёт перпендикулярность к наклонной.
• Обратная теорема меняет наклонную и проекцию местами.
• Прямая обязательно лежит в плоскости основания наклонной.
• Теорема нужна для поиска расстояний и апофем в пирамидах.