Площадь поверхности призмы

Площадь поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы — это сумма площадей всех её граней: двух оснований и боковых граней. Площадь боковой поверхности — это сумма площадей только боковых граней. Вместе с объёмом эти величины — основные числовые характеристики призмы, без которых не обходится ни одна задача на многогранники.

Основные формулы

Обозначим площадь боковой поверхности S_бок, площадь основания S_осн, площадь полной поверхности S_полн. Тогда:

S_полн = S_бок + 2·S_осн.

Множитель 2 возникает потому, что у призмы два равных основания. Боковые грани призмы — параллелограммы. Для прямой призмы они являются прямоугольниками, и боковая поверхность считается особенно просто.

Прямая призма

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: S_бок = P_осн · h.

Здесь P_осн — периметр основания, h — высота призмы (она же длина бокового ребра у прямой призмы). Формула легко объясняется: если «развернуть» боковую поверхность на плоскость, получится прямоугольник со сторонами P_осн и h.

Наклонная призма

Для наклонной призмы боковые рёбра не перпендикулярны основанию, поэтому используют перпендикулярное сечение — сечение, перпендикулярное боковым рёбрам:

S_бок = P_перп · l, где
P_перп — периметр перпендикулярного сечения,
l — длина бокового ребра.

Разбор примера

Дана прямая призма, в основании которой правильный треугольник со стороной a = 6, высота призмы h = 10. Найдём полную поверхность:

P_осн = 3·6 = 18.
S_бок = 18·10 = 180.
S_осн = (√3/4)·6² = 9√3.
S_полн = 180 + 2·9√3 = 180 + 18√3.

Заметьте: площадь боковой поверхности считается через периметр, а площадь основания — по формуле для правильного треугольника. Складывать их напрямую нельзя, пока обе величины не вычислены.

Частные виды призм

Различают несколько важных частных случаев. Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник; у неё все боковые грани равны. Параллелепипед — призма, в основании которой параллелограмм; у прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники. Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, поэтому его полная поверхность равна 6·a², где a — длина ребра. Знание этих частных формул экономит время при решении типовых задач.

Частые ошибки. В полную поверхность входят ДВА основания, а не одно. Для наклонной призмы нельзя использовать периметр основания — нужен периметр перпендикулярного сечения.

Кратко о главном

• Полная поверхность: S_полн = S_бок + 2·S_осн.
• У прямой призмы S_бок = P_осн · h.
• У наклонной призмы S_бок = P_перп · l.
• Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.