Перпендикулярность двух плоскостей
📏 Геометрия · 10 класс
Перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними прямой, то есть равен 90°. Перпендикулярность плоскостей — естественное обобщение перпендикулярности прямых на пространственный случай, и она широко применяется при работе с призмами, пирамидами и расстояниями.
Двугранный угол как основа определения
Чтобы измерить угол между плоскостями, пересекающимися по прямой c, в каждой плоскости проводят луч, перпендикулярный c, из одной и той же точки. Угол между этими лучами — линейный угол двугранного угла. Его величина не зависит от выбора точки на ребре. Если этот угол прямой, плоскости перпендикулярны: α ⊥ β.
Признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны.
Это самый удобный инструмент в задачах: достаточно найти в одной плоскости прямую, перпендикулярную второй плоскости, и перпендикулярность плоскостей доказана.
| Объект | Условие перпендикулярности |
|---|---|
| Две прямые | Угол между ними 90° |
| Прямая и плоскость | Прямая ⊥ всем прямым плоскости |
| Две плоскости | Двугранный угол равен 90° |
Полезное свойство
Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости. Это свойство часто применяют при построении высот и опускании перпендикуляров. Обратите внимание: перпендикулярность плоскостей не означает, что любая прямая первой плоскости перпендикулярна второй — только та, что перпендикулярна линии пересечения.
Разбор примера
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 покажем, что боковая грань ABB_1A_1 перпендикулярна основанию ABCD:
Ребро AA_1 ⊥ ABCD (перпендикулярно AB и AD).
Прямая AA_1 лежит в грани ABB_1A_1.
Грань проходит через прямую, перпендикулярную основанию.
Вывод: ABB_1A_1 ⊥ ABCD.Аналогично доказывается, что все боковые грани прямой призмы перпендикулярны основанию — это характерное свойство прямой призмы.
Частые ошибки. Угол между плоскостями нельзя измерять произвольными прямыми — только линейным углом, лучи которого перпендикулярны линии пересечения. Также помните: перпендикулярность плоскостей не означает, что любая прямая одной из них перпендикулярна второй.
Кратко о главном
- Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними прямой.
- Линейный угол строят перпендикулярами к линии пересечения.
- Признак: плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.
- Прямая в одной из перпендикулярных плоскостей, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна второй.