Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве

В стереометрии взаимное расположение двух прямых — это описание того, как две прямые расположены друг относительно друга в пространстве. На плоскости возможны только два случая: прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве к ним добавляется третий случай — скрещивающиеся прямые, которые не лежат в одной плоскости. Именно появление этого нового случая отличает стереометрию от планиметрии и делает задачу на расположение прямых более содержательной.

Три возможных случая

Для любых двух различных прямых в пространстве выполняется ровно один из вариантов:

• Пересекающиеся прямые — лежат в одной плоскости и имеют ровно одну общую точку.
• Параллельные прямые — лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
• Скрещивающиеся прямые — не лежат ни в одной общей плоскости и не имеют общих точек.

Ключевое различие: первые два случая объединяет то, что прямые компланарны, то есть помещаются в одну плоскость. Скрещивающиеся прямые компланарными не являются — через них нельзя провести единую плоскость. Поэтому скрещивающиеся прямые часто описывают словами «лежат в разных плоскостях».

Как различить случаи

Чтобы определить расположение, проверяют наличие общих точек и общей плоскости. Если прямые имеют общую точку — они пересекаются. Если общих точек нет, нужно выяснить, можно ли провести через обе прямые одну плоскость: если да — они параллельны, если нет — скрещиваются. Напомним важное свойство параллельных прямых пространства: две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Это теорема о транзитивности параллельности, которая в пространстве остаётся верной.

Признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

Разбор примера

Рассмотрим куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Определим расположение нескольких пар его рёбер:

AB и CD — параллельны (противоположные стороны грани ABCD)
AB и BC — пересекаются (общая вершина B)
AB и CC_1 — скрещиваются (нет общей плоскости)
AB и A_1B_1 — параллельны (равные параллельные рёбра)
AA_1 и CC_1 — параллельны (боковые рёбра)

Видно, что ребро AB и ребро CC_1 не лежат в одной плоскости: они и не пересекаются, и не параллельны, значит, скрещиваются. А рёбра AB и A_1B_1 параллельны, так как лежат в одной боковой грани и не пересекаются.

Частые ошибки. Нельзя считать прямые параллельными лишь потому, что они «не пересекаются на рисунке». Отсутствие общих точек — необходимое, но не достаточное условие параллельности: скрещивающиеся прямые тоже не пересекаются. Обязательно проверяйте принадлежность одной плоскости.

Кратко о главном

• Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются.
• Пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости (компланарны).
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
• Признак скрещивания: одна прямая в плоскости, вторая пересекает плоскость вне первой прямой.
• Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.