Сечения многогранников плоскостью

Сечение многогранника плоскостью

Сечением многогранника называют многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Стороны этого многоугольника — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Чтобы построить сечение, нужно найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника и соединить их, учитывая, что секущая плоскость пересекает каждую грань по прямой.

Основные правила построения

• Две точки сечения, лежащие в одной грани, соединяют отрезком.
• Если две грани параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым.
• Точки пересечения секущей плоскости с прямыми основания лежат на одной прямой — следе секущей плоскости.

Метод следов

Метод следов основан на построении линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Найдя след, последовательно отыскивают точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединяют их.

Какие фигуры получаются

Форма сечения зависит от положения секущей плоскости. Сечение куба может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником. Сечение тетраэдра — треугольником или четырёхугольником. Число сторон сечения не может превышать числа граней многогранника, потому что каждая сторона лежит в отдельной грани.

Особое значение имеют сечения, проходящие через определённые элементы. Так, сечение призмы, проходящее через два боковых ребра, называют диагональным. У пирамиды важны сечения, проходящие через вершину, — они всегда являются треугольниками, а также сечения, параллельные основанию, — они подобны основанию.

Разобранная схема

Пусть нужно построить сечение призмы через три точки M, N, K на её рёбрах. Порядок действий такой:

1. Соединяют точки, лежащие в одной грани: M и N.
2. Продолжают отрезок до пересечения с прямой основания, получая точку следа.
3. Через след и точку K строят линию пересечения с соседней гранью.
4. Замыкают многоугольник сечения.

Частые ошибки. Нельзя соединять отрезком две точки, лежащие в разных, непересекающихся гранях — сторона сечения всегда лежит в одной грани. Также важно помнить о параллельности линий пересечения для параллельных граней.

Кратко о главном

• Сечение многогранника — многоугольник от пересечения с плоскостью.
• Стороны сечения лежат в гранях, по которым проходит плоскость.
• Точки в одной грани соединяют, в параллельных гранях линии параллельны.
• Основные приёмы — метод следов и внутреннее проектирование.