Перевод чисел в двоичную систему

Что такое перевод чисел в двоичную систему

Перевод числа в двоичную систему счисления — это запись того же количества с помощью только двух цифр: 0 и 1. Компьютер хранит и обрабатывает все данные именно в двоичном виде, потому что у электронных элементов памяти есть всего два устойчивых состояния: есть сигнал или нет сигнала. Поэтому умение переводить числа между десятичной и двоичной системами — основа понимания того, как машина работает с числами.

Десятичная и двоичная системы

В привычной нам десятичной системе используется десять цифр, а основание системы равно числу десять. В двоичной системе основание равно двум, а цифр всего две. Значение каждого разряда зависит от его позиции: в двоичной записи позиции соответствуют степеням двойки — единицам, двойкам, четвёркам, восьмёркам и так далее.

Перевод из десятичной системы в двоичную

Самый надёжный способ — деление на два с остатком. Число делят на два, записывают остаток (он всегда равен 0 или 1), затем делят на два частное и снова записывают остаток. Так продолжают, пока частное не станет равным нулю. Двоичная запись получается из остатков, прочитанных снизу вверх.

Правило: остатки от деления на два читаются в обратном порядке — последний полученный остаток становится старшим (первым) разрядом двоичного числа.

Разобранный пример

Переведём десятичное число 13 в двоичную систему:

Перевод из двоичной системы в десятичную

Чтобы выполнить обратный перевод, каждую цифру умножают на вес её разряда и складывают результаты. Для числа 1101 получаем: восемь умножить на единицу, плюс четыре умножить на единицу, плюс два умножить на ноль, плюс один умножить на единицу. В сумме это даёт тринадцать.

Почему компьютер использует двоичную систему

Электронные схемы компьютера состоят из множества элементов, каждый из которых надёжно различает только два состояния: включено и выключено, заряжен и разряжен, есть напряжение и нет напряжения. Эти два состояния естественно обозначить цифрами 1 и 0. Если бы потребовалось различать десять разных уровней сигнала, как в десятичной системе, схемы стали бы намного сложнее и работали бы менее надёжно. Поэтому двоичная система оказалась самой удобной для техники: она проста для электроники и при этом позволяет записать любое число.

Сравнение записи числа в разных системах

Одно и то же количество в двоичной системе записывается длиннее, чем в десятичной, потому что в каждом разряде помещается меньше информации. Зато для машины такая запись удобнее. Чтобы быстро ориентироваться, полезно помнить двоичные записи небольших чисел и степени двойки: один, два, четыре, восемь, шестнадцать и так далее. Знание степеней двойки ускоряет и прямой, и обратный перевод.

Частые ошибки

Не путайте порядок остатков: если прочитать их сверху вниз, получится неверное число. Также нельзя забывать записывать остаток 0 — пропуск нуля сдвигает все разряды.

Кратко о главном

• Двоичная система использует только цифры 0 и 1, её основание равно двум.
• Перевод в двоичную систему выполняют делением на два с остатком.
• Остатки читают снизу вверх — от последнего к первому.
• Обратный перевод выполняют умножением цифр на веса разрядов и сложением.